Giải Toán 11 trang 33 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 11 trang 33 Tập 2

Bài 1 trang 33 Toán 11 Tập 2: Tính:

a) ${\left(\frac{1}{256}\right)}^{-\mathrm{0,75}}+{\left(\frac{1}{27}\right)}^{-\frac{4}{3}};$

b) ${\left(\frac{1}{49}\right)}^{-\mathrm{1,5}}-{\left(\frac{1}{125}\right)}^{-\frac{2}{3}};$

c) $\left(4^{3+\sqrt{3}}-4^{\sqrt{3}-1}\right)\cdot 2^{-2\sqrt{3}}.$

Lời giải:

Ta có:

a) ${\left(\frac{1}{256}\right)}^{-\mathrm{0,75}}+{\left(\frac{1}{27}\right)}^{-\frac{4}{3}}={\left(\frac{1}{256}\right)}^{-\frac{3}{4}}+{\left(\frac{1}{27}\right)}^{-\frac{4}{3}}$

$={256}^{\frac{3}{4}}+{27}^{\frac{4}{3}}=\sqrt[4]{{256}^3}+\sqrt[3]{{27}^4}$

$=\sqrt[4]{{\left(2^8\right)}^3}+\sqrt[3]{{\left(3^3\right)}^4}=\sqrt[4]{2^{24}}+\sqrt[3]{3^{12}}$

$=\sqrt[4]{{\left(2^6\right)}^4}+\sqrt[3]{{\left(3^4\right)}^3}=2^6+3^4=64+81=145.$

b) ${\left(\frac{1}{49}\right)}^{-\mathrm{1,5}}-{\left(\frac{1}{256}\right)}^{-\frac{2}{3}}={\left(\frac{1}{49}\right)}^{-\frac{3}{2}}-{\left(\frac{1}{256}\right)}^{-\frac{2}{3}}$

$={49}^{\frac{3}{2}}-{256}^{\frac{2}{3}}=\sqrt{{49}^3}-\sqrt[3]{{256}^2}$

$=\sqrt{{\left(7^2\right)}^3}-\sqrt[3]{{\left(2^8\right)}^2}=\sqrt{7^6}-\sqrt[3]{2^{16}}$

$=\sqrt{{\left(7^3\right)}^2}-\sqrt[3]{2\cdot 2^{15}}=7^3-\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{{\left(2^5\right)}^3}$

$=7^3-\sqrt[3]{2}\cdot 2^5=7^3-32\sqrt[3]{2}.$

c)

$$\begin{gathered} =\left(2^{6+2\sqrt{3}}-2^{2\sqrt{3}-2}\right)\cdot 2^{-2\sqrt{3}} \\ =2^{6+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}}-2^{2\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}} \end{gathered}$$

$=2^6-2^{-2}=64-\frac{1}{2^2}=64-\frac{1}{4}=\frac{255}{4}.$

Bài 2 trang 33 Toán 11 Tập 2: Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a) $a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a};$ b) $b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b};$ c) $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a};$ d) $\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}.$

Lời giải:

a) $a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a}=a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=a^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{a^5};$

b) $b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b}=b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=b^1;$

c) $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}=a^{\frac{4}{3}}:a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=a^1;$

d) $\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{3}}:b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{b}.$

Bài 3 trang 33 Toán 11 Tập 2: Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) $\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}\left(a>0;a\ne 1\right);$ b) $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}{b}^6}}\left(a>\mathrm{0,}b>0\right).$

Lời giải:

Ta có:

a) $\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}=\frac{a^{\frac{1}{3}}\left(a^2-1\right)}{a^{\frac{1}{3}}\left(a-1\right)}=\frac{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}{a-1}=a+1;$

b) $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}{b}^6}}=\sqrt[3]{{\left(a^{12}{b}^6\right)}^{\frac{1}{2}}}={\left(a^{12}{b}^6\right)}^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}$$={\left(a^{12}{b}^6\right)}^{\frac{1}{6}}=a^{2}b.$

Bài 4 trang 33 Toán 11 Tập 2: Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) $1^{\mathrm{1,5}};3^{-1};{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2};$ b) ${2022}^0;{\left(\frac{4}{5}\right)}^{-1};5^{\frac{1}{2}}.$

Lời giải:

a) Ta có: $1^{\mathrm{1,5}}=1^{\frac{3}{2}}=\sqrt{1^3}=1;3^{-1}=\frac{1}{3};{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=2^2=4$

Vì $\frac{1}{3}<1<4$ nên $3^{-1}<1^{\mathrm{1,5}}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}.$

b) Ta có: ${2022}^0=1;{\left(\frac{4}{5}\right)}^{-1}=\frac{5}{4};5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$

Vì $1<\frac{5}{4}<2<\sqrt{5}$ nên ${2022}^0<{\left(\frac{4}{5}\right)}^{-1}<5^{\frac{1}{2}}.$

Bài 5 trang 33 Toán 11 Tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau:

a) $6^{\sqrt{3}}$ và 36; b) ${\left(\mathrm{0,2}\right)}^{\sqrt{3}}$ và ${\left(\mathrm{0,2}\right)}^{\sqrt{5}}.$

Lời giải:

a) Ta có 3 < 4 nên $\sqrt{3}<\sqrt{4}=2$

Vì cơ số 6 lớn hơn 1 nên $6^{\sqrt{3}}$ do đó $6^{\sqrt{3}}<36.$

b) Ta có: 3 < 5 nên $\sqrt{3}<\sqrt{5}$

Vì cơ số 0,2 thỏa mãn 0 < 0,2 < 1 nên ${\left(\mathrm{0,2}\right)}^{\sqrt{3}}>{\left(\mathrm{0,2}\right)}^{\sqrt{5}}.$

Bài 6 trang 33 Toán 11 Tập 2:

Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số $P=d^{\frac{3}{2}},$ trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU (1 AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1 AU khoảng 93 000 000 dặm) (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Hỏi Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là 1,52 AU.

Lời giải:

Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất số năm Trái Đất là:

$P=d^{\frac{3}{2}}={\mathrm{1,52}}^{\frac{3}{2}}\approx \mathrm{1,87}\left(AU\right)$.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 27 Tập 2

Giải Toán 11 trang 28 Tập 2

Giải Toán 11 trang 29 Tập 2

Giải Toán 11 trang 30 Tập 2

Giải Toán 11 trang 31 Tập 2

Giải Toán 11 trang 32 Tập 2

Giải Toán 11 trang 33 Tập 2