Giải Toán 10 trang 92 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 92 Tập 2

Bài 4 trang 92 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 3 thuộc đường tròn

(x + 2)² + (y + 7)² = 169.

Lời giải

Ta có: (x + 2)² + (y + 7)² = 169

 

⇔ [x – (–2)]² + (y – (–7))² = 13².

Vậy đường tròn đã cho có tâm I(– 2; – 7) và bán kính R = 13.

Vì tiếp điểm thuộc đường tròn đã cho nên tọa độ tiếp điểm thỏa mãn phương trình đường tròn.

Hoành độ của tiếp điểm là 3, tức là x = 3, thay vào phương trình đường tròn ta có:

(3 + 2)² + (y + 7)² = 169

⇔ (y + 7)² = 144

⇔ (y + 7)² = 12² 

Do đó y + 7 = 12 hoặc y + 7 = – 12

Suy ra y = 5 hoặc y = – 19.

Vậy các điểm thuộc đường tròn có hoành độ bằng 3 là A(3; 5) và B(3; – 19).

+) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(– 2; – 7) tại điểm A(3; 5) là

(3 + 2)(x – 3) + (5 + 7)(y – 5) = 0

⇔ 5x – 15 + 12y – 60 = 0

⇔ 5x + 12y – 75 = 0.

+) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(– 2; – 7) tại B(3; – 19) là

(3 + 2)(x – 3) + (– 19 + 7)[y – (– 19)] = 0

⇔ 5x – 15 – 12y – 228 = 0

⇔ 5x – 12y – 243 = 0.

Vậy các phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là 5x + 12y – 75 = 0; 5x – 12y – 243 = 0.

Bài 5 trang 92 Toán 10 Tập 2: Tìm m sao cho đường thẳng 3x + 4y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn

(x + 1)² + (y – 2)² = 4.

Lời giải

Ta có: (x + 1)² + (y – 2)² = 4

⇔ [x – (– 1)]² + (y – 2)² = 2².

Đường tròn đã cho có tâm I(– 1; 2) và bán kính R = 2.

Giả sử ∆: 3x + 4y + m = 0.

Ta có ∆ tiếp xúc với đường tròn đã cho khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I của đường tròn đến đường thẳng ∆ bằng bán kính của đường tròn, có nghĩa là

d(I, ∆) = R

$\iff \frac{\left|3.\left(-1\right)+4.2+m\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$

$\iff \frac{\left|m+5\right|}{5}=2$ 

⇔ |m + 5| = 10

Suy ra m + 5 = 10 hoặc m + 5 = – 10

Do đó, m = 5 hoặc m = – 15.

Vậy m = 5, m = – 15 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 6 trang 92 Toán 10 Tập 2: Hình 46 mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí I có toạ độ (– 2; 1) trong mặt phẳng toạ độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét).

 

a) Lập phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng 3 km.

b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ (– 1; 3) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Giải thích.

c) Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ (– 3; 4) di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải

a) Đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng có tâm I(– 2; 1) và bán kính R = 3.

Vậy phương trình đường tròn là

[x – (– 2)]² + (y – 1)² = 3² hay (x + 2)² + (y – 1)² = 9.

b) Gọi M(– 1; 3) là vị trí của người dùng điện thoại.

Khoảng cách từ tâm I của đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng tới vị trí M(– 1; 3) là

IM = $\sqrt{{\left(\left(-1\right)-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(3-1\right)}^2}=\sqrt{5}$.

Mà $\sqrt{5}<3$ nên IM < R.

Khi đó vị trí M(– 1; 3) nằm trong đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng.

Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (– 1; 3) có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu  phát sóng này.

c) Gọi vị trí người đó đang đứng là A(– 3; 4).

Ta có: $\overrightarrow{AI}=\left(-2-\left(-3\right);1-4\right)$, do đó $\overrightarrow{AI}=\left(1;-3\right)$.

Suy ra $AI=\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{10}$ > 3 = R.

Vì AI > R nên A nằm ngoài đường tròn ranh giới.

Giả sử đường thẳng AI cắt đường tròn tại điểm B.

Do đó, AB là khoảng cách từ A đến vùng phủ sóng.

 

Đường thẳng AI có vectơ $\overrightarrow{AI}=\left(1;-3\right)$ vectơ chỉ phương.

Suy ra AI có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;1\right)$.

Vậy phương trình đường thẳng AI là

3(x + 3) + 1(y – 4) = 0 hay 3x + y + 5 = 0.

Vì B là giao điểm của AI và đường tròn mô tả ranh giới nên tọa độ của điểm B là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+y+5=0\\ {\left(x+2\right)}^2+{\left(y–1\right)}^2=9\end{array}\right.$.

Giải hệ phương trình ta có:

$\left\{\begin{array}{l}3x+y+5=0\\ {\left(x+2\right)}^2+{\left(y–1\right)}^2=9\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=-3x-5\\ {\left(x+2\right)}^2+{\left(-3x-5-1\right)}^2=9\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=-3x-5\\ x^2+4x+4+9x^2+36x+36=9\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=-3x-5\\ 10x^2+40x+31=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=-3x-5\\ \left[\begin{array}{l}x=\frac{-20+3\sqrt{10}}{10}\\ x=\frac{-20-3\sqrt{10}}{10}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-20+3\sqrt{10}}{10}\\ y=\frac{10-9\sqrt{10}}{10}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{-20-3\sqrt{10}}{10}\\ y=\frac{10+9\sqrt{10}}{10}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}B\left(\frac{-20+3\sqrt{10}}{10};\frac{10-9\sqrt{10}}{10}\right)\\ B\left(\frac{-20-3\sqrt{10}}{10};\frac{10+9\sqrt{10}}{10}\right)\end{array}\right.$

+ Với $B\left(\frac{-20+3\sqrt{10}}{10};\frac{10-9\sqrt{10}}{10}\right)$

Ta có: $AB=\sqrt{{\left(\frac{-20+3\sqrt{10}}{10}-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(\frac{10-9\sqrt{10}}{10}-4\right)}^2}\approx \mathrm{6,2}$

+ Với $B\left(\frac{-20-3\sqrt{10}}{10};\frac{10+9\sqrt{10}}{10}\right)$

Ta có: $AB=\sqrt{{\left(\frac{-20-3\sqrt{10}}{10}-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(\frac{10+9\sqrt{10}}{10}-4\right)}^2}\approx \mathrm{0,2}$

Vì 0,2 < 6,2 mà khoảng cách cần xác định là ngắn nhất nên AB ≈ 0,2.

Vậy tính theo đường chim bay, khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ (– 3; 4) di chuyển được tới vùng phủ sóng khoảng 0,2 km.

Bài 7 trang 92 Toán 10 Tập 2: Ném đĩa là một môn thể thao thi đấu trong Thế vận hội Olympic mùa hè. Khi thực hiện cú ném, vận động viên thường quay lưng lại với hướng ném, sau đó xoay ngược chiều kim đồng hồ một vòng rưỡi của đường tròn để lấy đà rồi thả tay ra khỏi đĩa. Giả sử đĩa chuyển động trên một đường tròn tâm $I\left(0;\frac{3}{2}\right)$ bán kính 0,8 trong mặt phẳng tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét). Đến điểm $M\left(\frac{\sqrt{39}}{10};2\right)$, đĩa được ném đi (Hình 47). Trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình như thế nào?

 

Lời giải

Đĩa chuyển động trên một đường tròn tâm $I\left(0;\frac{3}{2}\right)$ bán kính 0,8, đến điểm $M\left(\frac{\sqrt{39}}{10};2\right)$, đĩa được ném đi.

Khi đó trong những giây đầu tiên sau khi ném đi, đĩa chuyển động trên một đường thẳng chính là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, bán kính 0,8 tại tiếp điểm M.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm $I\left(0;\frac{3}{2}\right)$ tại tiếp điểm $M\left(\frac{\sqrt{39}}{10};2\right)$ là

$\left(\frac{\sqrt{39}}{10}-0\right)\left(x-\frac{\sqrt{39}}{10}\right)+\left(2-\frac{3}{2}\right)\left(y-2\right)=0$

$\iff \frac{\sqrt{39}}{10}x-\frac{39}{100}+\frac{1}{2}y-1=0$

$\iff 10\sqrt{39}x+50y-139=0$.

Vậy trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình là $10\sqrt{39}x+50y-139=0$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 87 Tập 2

Giải Toán 10 trang 88 Tập 2

Giải Toán 10 trang 89 Tập 2

Giải Toán 10 trang 90 Tập 2

Giải Toán 10 trang 91 Tập 2

Giải Toán 10 trang 92 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 6: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Chủ đề 2: Xây dựng mô hình hàm số bậc nhất, bậc hai biểu diễn số liệu dạng bảng

Bài 1: Mệnh đề toán học

Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp