Bài 6 trang 92 Toán 10 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 10

Lời giải Bài 6 trang 92 Toán 10 Tập 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10.

1 6,685 16/03/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 10 Cánh diều Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6 trang 92 Toán 10 Tập 2: Hình 46 mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí I có toạ độ (– 2; 1) trong mặt phẳng toạ độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét).

Giải Toán 10 Bài 5 (Cánh diều): Phương trình đường tròn (ảnh 1)

a) Lập phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng 3 km.

b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ (– 1; 3) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Giải thích.

c) Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ (– 3; 4) di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải

a) Đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng có tâm I(– 2; 1) và bán kính R = 3.

Vậy phương trình đường tròn là

[x – (– 2)]² + (y – 1)² = 3² hay (x + 2)² + (y – 1)² = 9.

b) Gọi M(– 1; 3) là vị trí của người dùng điện thoại.

Khoảng cách từ tâm I của đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng tới vị trí M(– 1; 3) là

IM = $\sqrt{{((- 1) - (- 2))}^{2} + {(3 - 1)}^{2}} = \sqrt{5}$ .

Mà $\sqrt{5} < 3$ nên IM < R.

Khi đó vị trí M(– 1; 3) nằm trong đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng.

Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (– 1; 3) có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng này.

c) Gọi vị trí người đó đang đứng là A(– 3; 4).

Ta có: $\vec{A I} = (- 2 - (- 3); 1 - 4)$ , do đó $\vec{A I} = (1; - 3)$ .

Suy ra $A I = \sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{10}$ > 3 = R.

Vì AI > R nên A nằm ngoài đường tròn ranh giới.

Giả sử đường thẳng AI cắt đường tròn tại điểm B.

Do đó, AB là khoảng cách từ A đến vùng phủ sóng.

Giải Toán 10 Bài 5 (Cánh diều): Phương trình đường tròn (ảnh 1)

Đường thẳng AI có vectơ $\vec{A I} = (1; - 3)$ vectơ chỉ phương.

Suy ra AI có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (3; 1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng AI là

3(x + 3) + 1(y – 4) = 0 hay 3x + y + 5 = 0.

Vì B là giao điểm của AI và đường tròn mô tả ranh giới nên tọa độ của điểm B là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x + y + 5 = 0 \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9 \end{cases}$ .

Giải hệ phương trình ta có:

$\{\begin{cases} 3 x + y + 5 = 0 \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - 3 x - 5 \\ {(x + 2)}^{2} + {(- 3 x - 5 - 1)}^{2} = 9 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - 3 x - 5 \\ x^{2} + 4 x + 4 + 9 x^{2} + 36 x + 36 = 9 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - 3 x - 5 \\ 10 x^{2} + 40 x + 31 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - 3 x - 5 \\ [\begin{array}{l} x = \frac{- 20 + 3 \sqrt{10}}{10} \\ x = \frac{- 20 - 3 \sqrt{10}}{10} \end{array} \end{cases}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = \frac{- 20 + 3 \sqrt{10}}{10} \\ y = \frac{10 - 9 \sqrt{10}}{10} \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = \frac{- 20 - 3 \sqrt{10}}{10} \\ y = \frac{10 + 9 \sqrt{10}}{10} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} B (\frac{- 20 + 3 \sqrt{10}}{10}; \frac{10 - 9 \sqrt{10}}{10}) \\ B (\frac{- 20 - 3 \sqrt{10}}{10}; \frac{10 + 9 \sqrt{10}}{10}) \end{array}$