Giải Toán 10 trang 61 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 61 Tập 1

Bài 5 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = x² – 3x – 4; 

b) y = x² + 2x + 1; 

c) y = – x² + 2x – 2. 

Lời giải:

a) y = x² – 3x – 4

Ta có: hệ số a = 1 > 0, b = – 3, c = – 4, ∆ = (– 3)² – 4 . 1 . (– 4) = 25 > 0.

- Parabol có bề lõm hướng lên trên.

- Tọa độ đỉnh I$\left(\frac{3}{2};\frac{-25}{4}\right)$.

- Trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$.

- Ta có bảng giá trị sau:

x	-1	0	$\frac{3}{2}$	3	4
y = x2 – 3x – 4	0	-4	$-\frac{25}{4}$	-4	0

Đồ thị hàm số y = x² – 3x – 4 là đường cong đi qua các điểm B(-1; 0), A(0; -4); $I\left(\frac{3}{2};\frac{-25}{4}\right)$; D(3; -4) và C(4; 0).

b) y = x² + 2x + 1

Ta có hệ số a = 1 > 0, b = 2, c = 1, ∆ = 2² – 4 . 1 . 1 = 0.

- Parabol có bề lõm hướng lên trên.

- Tọa độ đỉnh I(– 1; 0).

- Trục đối xứng x = – 1.

- Ta có bảng giá trị sau:

x	-3	-2	-1	0	1
y = x2 + 2x + 1	4	1	0	1	4

Đồ thị hàm số y = x² + 2x + 1 là đường cong đi qua các điểm A(-3; 4), B(-2; 1); I(-1; 0); C(0; 1) và D(1; 4).

c) y = – x² + 2x – 2

Ta có hệ số a = – 1 < 0, b = 2, c = – 2 và ∆ = 2² – 4 . (– 1) . (– 2) = – 4.

- Đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới.

- Tọa độ đỉnh I(1; – 1).

- Trục đối xứng x = 1.

- Ta có bảng sau:

x	-1	0	1	2	3
y = - x2 + 2x - 2	-5	-2	-1	-2	-5

Đồ thị hàm số y = - x² + 2x - 2 là đường cong đi qua các điểm A(-1; -5), B(0; -2); I(1; -1); C(2; -2) và C(3; -5).

Bài 6 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Lập bảng xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = – 3x² + 4x – 1; 

b) f(x) = x² – x – 12; 

c) f(x) = 16x² + 24x + 9. 

Lời giải:

a) Xét tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 4x – 1 có:

∆ = 4² – 4 . (– 3) . (– 1) = 4 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{1}{3}$ và x₂ = 1

Ta lại có a = - 3 < 0

Ta lập được bảng xét dấu như sau:

b) Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – x – 12 có:

 ∆ = (– 1)² – 4 . 1 . (– 12) = 49 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = – 3 và x₂ = 4.

Ta có hệ số a = 1 > 0

Ta lập được bảng xét dấu sau:

c) Xét tam thức bậc hai f(x) = 16x² + 24x + 9 có:

∆ = 24² – 4 . 16 . 9 = 0.

Do đó tam thức bậc hai có nghiệm kép x = $-\frac{3}{4}$.

Ta có hệ số a = 16 > 0

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta có bảng xét dấu sau:

Bài 7 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Giải các bất phương trình sau:

a) 2x² + 3x + 1 ≥ 0; 

b) – 3x² + x + 1 > 0; 

c) 4x² + 4x + 1 ≥ 0; 

d) – 16x² + 8x – 1 < 0; 

e) 2x² + x + 3 < 0; 

g) – 3x² + 4x – 5 < 0. 

Lời giải:

a) Xét tam thức bậc hai 2x² + 3x + 1 có ∆ = 3² – 4 . 2 . 1 = 1 > 0

Suy ra tam thức này có hai nghiệm x₁ = – 1, x₂ = $-\frac{1}{2}$ 

Ta có hệ số a = 2 > 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

Ta thấy tam thức 2x² + 3x + 1 không âm khi x ≤ -1 hoặc $x\ge -\frac{1}{2}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $\left(-\infty ;-1\right]\cup \left[-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

b) Xét tam thức bậc hai – 3x² + x + 1 có: Hệ số a = – 3 < 0 và

∆ = 1² – 4 . (– 3) . 1 = 13 > 0

Suy ra tam thức này có hai nghiệm $x_1=\frac{1-\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$ 

Ta có bảng xét dấu sau:

Ta thấy tam thức – 3x² + x + 1 mang dấu “+” khi $x\in \left(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x² + x + 1 > 0 là $\left(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)$.

c) Xét tam thức bậc hai 4x² + 4x + 1 có hệ số a = 4 > 0 và ∆ = 4² – 4 . 4 . 1 = 0

Suy ra tam thức này có nghiệm kép là x = $-\frac{1}{2}$.

Ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy 4x² + 4x + 1 > 0 với mọi $x\ne -\frac{1}{2}$ và 4x² + 4x + 1 = 0 tại x = $-\frac{1}{2}$.

Do đó bất phương trình 4x² + 4x + 1 ≥ 0 đã cho có vô số nghiệm.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ℝ$.

d) Xét tam thức bậc hai – 16x² + 8x – 1 < 0 có hệ số a = -16 < 0 và ∆’ = 4² – (– 16) . (– 1) = 0 nên tam thức có nghiệm kép là x = $\frac{1}{4}$.

Ta có bảng xét dấu:

Ta thấy tam thức – 16x² + 8x – 1 < 0 với mọi $x\ne \frac{1}{4}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 16x² + 8x – 1 < 0 là $ℝ\backslash \left\{\frac{1}{4}\right\}$.

e) Xét tam thức bậc hai 2x² + x + 3 có hệ số a = 2 > 0 và ∆ = 1² – 4 . 2 . 3 = – 23 < 0

Ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 2x² + x + 3 > 0 với mọi $x\in ℝ$.

Vậy bất phương trình 2x² + x + 3 < 0 vô nghiệm.

g) – 3x² + 4x – 5 < 0

Xét tam thức bậc hai – 3x² + 4x – 5 có hệ số a = – 3 < 0 và ∆’ = 2² – (– 3) . (– 5) = – 11 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy – 3x² + 4x – 5 < 0 với mọi $x\in ℝ$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x² + 4x – 5 < 0 là $ℝ$.

Bài 8 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x+2}=x$

b) $\sqrt{2x^2+3x-2}=\sqrt{x^2+x+6}$;

c) $\sqrt{2x^2+3x-1}=x+3$. 

Lời giải:

a) $\sqrt{x+2}=x$ (1)

Điều kiện: x > 0

(1) ⇔ x + 2 = x²

⇔ x² – x – 2 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\left(khôngTMĐK\right)\\ x=2\left(TMĐK\right)\end{array}\right.$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

b) $\sqrt{2x^2+3x-2}=\sqrt{x^2+x+6}$ 

⇔ 2x² + 3x – 2 = x² + x + 6

⇔ 2x² – x² + 3x – x – 2 – 6 = 0

⇔ x² + 2x – 8 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-4\\ x=2\end{array}\right.$

Thay x = -4  và x = 2 lần lượt vào bất đẳng thức 2x² + 3x – 2 ≥ 0 ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn bất đẳng thức.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 và x = – 4.

c) $\sqrt{2x^2+3x-1}=x+3$ (3)

Điều kiện x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ – 3.

Phương trình (3) ⇔ 2x² + 3x – 1 = (x + 3)²

⇔ 2x² + 3x – 1 = x² + 6x + 9

⇔ 2x² – x² + 3x – 6x – 1 – 9 = 0

⇔ x² – 3x – 10 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=5\end{array}\right.$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = – 2 và x = 5.

Bài 9 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Một kĩ sư thiết kế đường dây điện từ vị trí A đến vị trí S và từ vị trí S đến vị trí C trên cù lao như Hình 38. Tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ A đến S và từ S đến C lần lượt là 3 triệu đồng và 5 triệu đồng. Biết tổng số tiền công là 16 triệu đồng. Tính tổng số ki-lô-mét đường dây điện đã thiết kế.

Lời giải:

Gọi số ki-lô-mét đường dây điện từ vị trí B đến vị trí S là x (km) (x > 0).

Khi đó, ta có: SA = AB – BS = 4 - x (km) (Ta có 4 – x > 0 ⇔ x < 4)

Số tiền công thiết kế trên đoạn đường SA là: 3(4 – x) (triệu đồng)

Xét ∆CBS vuông tại B, có:

CS² = BS² + BC² (định lý Py – ta – go)

CS² = x² + 1² = x² + 1

CS = $\sqrt{x^2+1}$ (km)

Số tiền công thiết kế trên đoạn đường CS là: $5\sqrt{x^2+1}$ (triệu đồng)

Tổng số tiền công thiết kế đường dây điện trên cả quãng đường AC là:

$5\sqrt{x^2+1}+3\left(4-x\right)$ (triệu đồng)

Vì tổng số tiền công là 16 triệu đồng nên ta có phương trình:

$5\sqrt{x^2+1}+3\left(4-x\right)=16$

$\iff 5\sqrt{x^2+1}=3x+4$ (1)

Điều kiện 3x + 4 ≥ 0 ⇔ $x\ge -\frac{4}{3}$

Phương trình (1) ⇔ 25(x² + 1) = (3x + 4)²

⇔ 25x² + 25 = 9x² + 24x + 16

⇔ 16x² - 24x + 9 = 0

$\iff x=\frac{3}{4}=0,75$ (thỏa mãn điều kiện)

Do đó số ki-lô-mét đường dây từ vị trí A đến S là 4 – 0,75 = 3,25 km.

Số ki-lô-mét đường dây từ vị trí S đến C là: $\sqrt{x^2+1}=\sqrt{{\left(0,75\right)}^2+1}=1,25$ (km).

Vậy tổng số ki-lô-mét đường dây đã thiết kế là 3,25 + 1,25 = 4,5 (km).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 60 Tập 1

Giải Toán 10 trang 61 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Bài 2: Giải tam giác

Bài 3: Khái niệm vectơ

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 5: Tích của một số với một vectơ