Giải Toán 10 Bài 10 (Kết nối tri thức): Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Giải bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Mở đầu

Mở đầu trang 60 Toán 10 Tập 1: Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng tọa độ. Trong thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có tọa độ (13,8; 108,3) đến vị trí tọa độ (14,1; 106,3). Dựa vào thông tin trên, liệu ta có thể dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó hay không?

Lời giải

Sau bài học này ta có thể trả lời câu hỏi trên như sau:

Gọi M(x; y) là vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì t giờ trong khoảng thời gian 12 giờ.

Do bão di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3) nên điểm M thuộc đoạn thẳng AB.

Theo dự báo, tại thời điểm t giờ thì tâm bão đã đi được một khoảng AM là: $\frac{AM}{AB}=\frac{t}{12}$

Hay $AM=\frac{t}{12}AB$

Vectơ $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $AM=\frac{t}{12}AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{t}{12}\overrightarrow{AB}$

Ta có: A(13,8; 108,3); B(14,1; 106,3); M(x; y)

Suy ra $\overrightarrow{AM}=\left(x-13,8;y-108,3\right),\overrightarrow{AB}=\left(0,3;-2\right)$

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\frac{t}{12}\overrightarrow{AB}$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}x-13,8=\frac{t}{12}.0,3\\ y-108,3=\frac{t}{12}.\left(-2\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=0,3.\frac{t}{12}+13,8\\ y=-2.\frac{t}{12}+108,3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{t}{40}+13,8\\ y=-\frac{t}{6}+108,3\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\Rightarrow M\left(\frac{t}{40}+13,8;-\frac{t}{6}+108,3\right)$

Vậy ở thời điểm t giờ tâm bão là điểm M ở vị trí $M\left(\frac{t}{40}+13,8;-\frac{t}{6}+108,3\right)$

1. Tọa độ của Vecto

Giải Toán 10 trang 60 Tập 1

HĐ 1 trang 60 Toán 10 Tập 1: Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}$ (H.4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số $-\frac{3}{2}.$ Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ theo vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}.$

Lời giải

Trên hình vẽ ta thấy:

+) Vectơ $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{OA}$ và OM = 4 = 4.1 = 4OA

Nên $\overrightarrow{OM}=4\overrightarrow{OA}=4\overrightarrow{i}$.

+) Vectơ $\overrightarrow{ON}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{OA}$ và ON = $\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.1=\frac{3}{2}$OA

Nên $\overrightarrow{ON}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{OA}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{i}$.

Vậy $\overrightarrow{OM}=4\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{ON}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{i}$.

Giải Toán 10 trang 61 Tập 1

HĐ 2 trang 61 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.33:

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$.

b) Hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ từ đó biểu thị vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$.

Lời giải

Giả sử các điểm A, B, C, D được biểu diễn như hình vẽ trên.

Khi đó $\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i};\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{j};\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{i};\overrightarrow{OD}=\frac{5}{2}\overrightarrow{j}.$

a) OAMB là hình bình hành suy ra $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ (quy tắc hình bình hành)

Do đó $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}$

OCND là hình bình hành suy ra $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ (quy tắc hình bình hành)

Do đó $\overrightarrow{ON}=-2\overrightarrow{i}+\frac{5}{2}\overrightarrow{j}$

b) Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$ (quy tắc ba điểm)

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MN}=\left(-2\overrightarrow{i}+\frac{5}{2}\overrightarrow{j}\right)-\left(3\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}\right)=-2\overrightarrow{i}+\frac{5}{2}\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j} \\ =\left(-2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{i}\right)+\left(\frac{5}{2}\overrightarrow{j}-5\overrightarrow{j}\right)=-5\overrightarrow{i}-\frac{5}{2}\overrightarrow{j}. \end{gathered}$$

Vậy $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=-5\overrightarrow{i}-\frac{5}{2}\overrightarrow{j}.$

Luyện tập 1 trang 61 Toán 10 Tập 1: Tìm tọa độ của $\overrightarrow{0}$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{0}=0.\overrightarrow{i}+0.\overrightarrow{j}\Rightarrow \overrightarrow{0}=\left(0;0\right)$.

Vậy vectơ $\overrightarrow{0}$ có toạ độ là (0; 0).

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

HĐ 3 trang 61 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow{u}=\left(2;-3\right),\overrightarrow{v}=\left(4;1\right),\overrightarrow{a}=\left(8;-12\right).$

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{a}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}.$

b) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},4\overrightarrow{u}.$

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{a}.$

Lời giải

a) Ta có:

$\overrightarrow{u}=\left(2;-3\right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j};$

$\overrightarrow{v}=\left(4;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{v}=4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j};$

$\overrightarrow{a}=\left(8;-12\right)\Rightarrow \overrightarrow{a}=8\overrightarrow{i}-12\overrightarrow{j}.$

b) Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}\right)+\left(4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right) \\ =2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}=6\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j} \\ \Rightarrow \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(6;-2\right) \end{gathered}$$

$4\overrightarrow{u}=4\left(2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}\right)=8\overrightarrow{i}-12\overrightarrow{j}\Rightarrow 4\overrightarrow{u}=\left(8;-12\right).$

Vậy toạ độ của vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ là (6; ‒2) và toạ độ của vectơ $4\overrightarrow{u}$ là (8; ‒12).

c) Ta có $\overrightarrow{a}=\left(8;-12\right)$ và $4\overrightarrow{u}=\left(8;-12\right).$

Suy ra $\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{u}$.

Vậy $\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{u}$.

Giải Toán 10 trang 62 Tập 1

HĐ 4 trang 62 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(x₀;y₀).

Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35).

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow{OP}$ theo $\overrightarrow{i}$và tính độ dài của $\overrightarrow{OP}$ theo x₀.

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow{OQ}$ theo $\overrightarrow{j}$ và tính độ dài của $\overrightarrow{OQ}$ theo y₀.

c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của $\overrightarrow{OM}$ theo x₀, y₀.

d) Biểu thị $\overrightarrow{OM}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$.

Lời giải

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn cho số x₀ nên OP = |x₀| = x₀.

Ta có vectơ $\overrightarrow{OP}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\left|\overrightarrow{OP}\right|=$ OP = x₀ nên $\overrightarrow{OP}=x_0\overrightarrow{i}.$

Vậy $\overrightarrow{OP}=x_0\overrightarrow{i}.$

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn cho số y₀ nên OQ = |y₀| = y₀.

Ta có vectơ $\overrightarrow{OQ}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{j}$ và $\left|\overrightarrow{OQ}\right|=$ OQ = y₀ nên $\overrightarrow{OQ}=y_0\overrightarrow{j}.$

Vậy $\overrightarrow{OQ}=y_0\overrightarrow{j}.$

c) Xét tam giác OPM vuông tại P, theo định lí Pythagore ta có: OM² = OP² + MP²

$\Rightarrow OM=\sqrt{O{P}^2+M{P}^2}=\sqrt{O{P}^2+O{Q}^2}=\sqrt{x_0^2+y_0^2}.$

Do đó $\left|\overrightarrow{OM}\right|=OM=\sqrt{x_0^2+y_0^2}.$

Vậy $\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{x_0^2+y_0^2}.$

d) Ta có $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=x_0\overrightarrow{i}+y_0\overrightarrow{j}$.

Vậy $\overrightarrow{OM}=x_0\overrightarrow{i}+y_0\overrightarrow{j}.$

HĐ 5 trang 62 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x; y) và N(x'; y').

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$.

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ và tìm tọa độ của $\overrightarrow{MN}$

c) Tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{MN}$

Lời giải

a) Ta có M(x; y) nên vectơ $\overrightarrow{OM}$ có toạ độ (x; y).

N(x'; y') nên vectơ $\overrightarrow{ON}$ có toạ độ (x'; y').

b) Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$ (quy tắc ba điểm)

Mà tọa độ của vectơ $\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$là (x' – x; y' – y).

Vậy $\overrightarrow{MN}=\left(x\text{'}-x;y\text{'}-y\right).$

c) Độ dài của vectơ $\overrightarrow{MN}$ là $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{{\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2}.$

Giải Toán 10 trang 63 Tập 1

Luyện tập 2 trang 63 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3).

a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm M(x;y) để OABM là một hình bình hành.

Lời giải

a) Ta có: A(2; 1) suy ra $\overrightarrow{OA}=\left(2;1\right)$

B(3; 3) suy ra $\overrightarrow{OB}=\left(3;3\right)$

Hai vectơ $\overrightarrow{OA}=\left(2;1\right),\overrightarrow{OB}=\left(3;3\right)$ không cùng phương (vì $\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$).

Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm O, A, B không thẳng hàng.

b) Các điểm O, A, B không thẳng hàng nên tứ giác OABM là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{MB}$

Ta có: $\overrightarrow{OA}=\left(2;1\right),\overrightarrow{MB}=\left(3-x;3-y\right)$ nên

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{MB}\iff \left\{\begin{array}{l}2=3-x\\ 1=3-y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.\Rightarrow M\left(1;2\right).$

Vậy điểm cần tìm là M(1;2).

Giải Toán 10 trang 64 Tập 1

Vận dụng trang 64 Toán 10 Tập 1: Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ dự báo.

Trong 12 giờ, tâm bão được dự báo di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3). Gọi tọa độ của M là (x;y). Bạn hãy tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ rồi thể hiện mối quan hệ đó theo tọa độ để tìm x; y.

Lời giải

Do bão di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3) nên điểm M thuộc đoạn thẳng AB.

Theo dự báo, tại thời điểm 9 giờ thì tâm bão đã đi được một khoảng AM là: $\frac{AM}{AB}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$

Hay $AM=\frac{3}{4}AB$

Vectơ $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $AM=\frac{3}{4}AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$

Ta có: A(13,8; 108,3); B(14,1; 106,3); M(x; y)

Suy ra $\overrightarrow{AM}=\left(x-13,8;y-108,3\right),\overrightarrow{AB}=\left(0,3;-2\right)$

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-13,8=\frac{3}{4}.0,3\\ y-108,3=\frac{3}{4}.\left(-2\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=0,3.\frac{3}{4}+13,8\\ y=-2.\frac{3}{4}+108,3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=14,025\\ y=106,8\end{array}\right.\Rightarrow M\left(14,025;106,8\right)$

Vậy ở thời điểm 9 giờ tâm bão là điểm M ở vị trí M(14,025; 106,8).

Bài tập

Giải Toán 10 trang 65 Tập 1

Bài 4.16 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1;3), N(4;2).

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Lời giải

a) Ta có:

b) Xét tam giác OMN, có: $OM=MN\left(=\sqrt{10}\right)$ suy ra tam giác OMN cân tại M. (1)

Ta có:

$O{N}^2={\left(2\sqrt{5}\right)}^2=20;O{M}^2+M{N}^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2+{\left(\sqrt{10}\right)}^2=20$

$\Rightarrow O{N}^2=O{M}^2+M{N}^2$

Theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác OMN vuông tại M. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác OMN vuông cân tại M.

Vậy tam giác OMN vuông cân tại M.

Bài 4.17 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j};$$\overrightarrow{b}=\left(4;-1\right)$ và các điểm M(‒3;6), N(3;‒3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}.$

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x;y) để OMNP là hình bình hành.

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có

+ M(-3; 6)$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left(-3;6\right)$

+) N(3;‒3) $\Rightarrow \overrightarrow{ON}=\left(3;-3\right)$

Hai vectơ $\overrightarrow{OM}=\left(-3;6\right),\overrightarrow{ON}=\left(3;-3\right)$ không cùng phương (vì $\frac{-3}{3}\ne \frac{6}{-3}$).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm O, M, N không thẳng hàng.

c)

Các điểm O, M, N không thẳng hàng, tứ giác OMNP là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{PN}$

Ta có: M(‒3;6); N(3;‒3) và P(x; y)

$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left(-3;6\right),\overrightarrow{PN}=\left(3-x;-3-y\right)$

Do đó $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{PN}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-3=3-x\\ 6=-3-y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=-9\end{array}\right.\Rightarrow P\left(6;-9\right).$

Vậy điểm cần tìm là P(6;‒9).

Bài 4.18 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;3), B(2;4), C(‒3;2).

a) Chứng minh rằng ABC là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.

Lời giải

a) Ta có: A(1;3), B(2;4), C(‒3;2).

Suy ra: $\overrightarrow{AB}=\left(1;1\right),\overrightarrow{BC}=\left(-5;-2\right)$

Hai vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(1;1\right),\overrightarrow{BC}=\left(-5;-2\right)$ không cùng phương (vì $\frac{1}{-5}\ne \frac{1}{-2}$).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Gọi M(x₁;y₁) là trung điểm của đoạn thẳng AB với A(1;3) và B(2;4).

Khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{1+2}{2}\\ y_1=\frac{3+4}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3}{2}\\ y_1=\frac{7}{2}\end{array}\right.\Rightarrow M\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right).$

Vậy $M\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB

c) Gọi G(x₂;y₂) là trọng tâm của tam giác ABC với A(1;3), B(2;4) và C(‒3;2).

Khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{1+2+\left(-3\right)}{3}\\ y_2=\frac{3+4+2}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_2=0\\ y_2=3\end{array}\right.\Rightarrow G\left(0;3\right).$

Vậy G(0;3) là trọng tâm của tam giác ABC.

d) Để O(0;0) là tọa độ trọng tâm tam giác ABD với A(1;3), B(2;4) và D(x,y) thì:

$\left\{\begin{array}{l}0=\frac{1+2+x}{3}\\ 0=\frac{3+4+y}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+3=0\\ y+7=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-7\end{array}\right.\Rightarrow D\left(-3;-7\right)$

Vậy D(‒3;‒7) thì O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.

Bài 4.19 trang 65 Toán 10 Tập 1: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí A(1;2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\overrightarrow{v}=\left(3;4\right).$ Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Lời giải

Gọi B(x; y) là vị trí của tàu thủy trên mặt phẳng toạ độ sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Tàu khởi hành từ vị trí A chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\overrightarrow{v}=\left(3;4\right)$, sau 1,5 giờ thì tàu thuỷ đến B nên $\overrightarrow{AB}=1,5\overrightarrow{v}$

Mà A(1;2); B(x; y) nên $\overrightarrow{AB}=\left(x-1;y-2\right)$

Khi đó: $\overrightarrow{AB}=1,5\overrightarrow{v}$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}x-1=1,5.3\\ y-2=1,5.4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1,5.3+1\\ y=1,5.4+2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=5,5\\ y=8\end{array}\right.\Rightarrow B\left(5,5;8\right) \end{gathered}$$

Vậy sau khi khởi hành 1,5 giờ thì tàu thủy đến được vị trí B(5,5; 8).

Bài 4.20 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.38, quân mã đang vị trí có tọa độ (1;2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Lời giải

Cách di chuyển của quân mã là đi theo hình chữ L, mỗi nước đi gồm tồng cộng 3 ô (tiến 1 ô rồi quẹo trái/ phải 2 ô và ngược lại hoặc tiến 2 ô rồi quẹo trái/ phải 1 ô và ngược lại) nên quân mã có thể đi đến các vị trí A, B, C, D, E và O trên bàn cờ như hình dưới đây:

Tọa độ của các vị trí đó là: O(0;0), A(0;4), B(2;4), C(3;3), D(3;1), E(2;0).

Vậy sau một nước đi, quân mã có thể đến các vị trí O(0;0), A(0;4), B(2;4), C(3;3), D(3;1), E(2;0).

Lý thuyết Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

1. Tọa độ của vectơ

– Trục tọa độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm O và một vectơ $\overrightarrow{i}$ có độ dài bằng 1. Điểm O gọi là gốc tọa độ, vectơ $\overrightarrow{i}$ gọi là vectơ đơn vị của trục. Điểm M trên trục biểu diễn số x₀ nếu $\overrightarrow{OM}=x_0\overrightarrow{i}$

– Trên mặt phẳng với một đơn vị đo độ dài cho trước, xét hai trục Ox, Oy có chung gốc O và vuông góc với nhau. Kí hiệu vectơ đơn vị của trục Ox là $\overrightarrow{i}$, vectơ đơn vị của trục Oy là $\overrightarrow{j}$. Hệ gồm hai trục Ox, Oy như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxy. Điểm O gọi là gốc tọa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy.

– Mỗi vectơ $\overrightarrow{u}$ trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số (x₀; y₀) sao cho $\overrightarrow{u}=x_0\overrightarrow{i}+y_0\overrightarrow{j}$.

Ta nói vectơ $\overrightarrow{u}$ có tọa độ (x₀; y₀) và viết $\overrightarrow{u}$ = (x₀; y₀) hay $\overrightarrow{u}$(x₀; y₀). Các số x₀, y₀ tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của $\overrightarrow{u}$.

– Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ.

$\overrightarrow{u}(x;y)=\overrightarrow{v}(x\text{'};y\text{'})\iff \left(\begin{array}{c}x=x\text{'}\\ y=y\text{'}.\end{array}\right)$

Ví dụ : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, $\overrightarrow{u}$ = (2; –4). Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{u}$ qua vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

Hướng dẫn giải

Vì $\overrightarrow{u}$ = (2; –4) nên $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}+(-4)\overrightarrow{j}=2\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$

Vậy $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$.

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x; y) và $\overrightarrow{v}$ = (x’; y’). Khi đó:

$\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (x + x’ ; y + y’) ;

$\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = (x – x’ ; y – y’) ;

k $\overrightarrow{u}$ = (kx ; ky) với k ∈ℝ.

Ví dụ : Cho $\overrightarrow{u}$ = (2; 3), = (–1; 2).

a) Tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$; $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$.

b) Tìm tọa độ của vectơ 4$\overrightarrow{u}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (2 + (–1); 3 + 2) = (1; 5)

$\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = (2 – (–1); 3 – 2) = (3; 1).

Vậy $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (1; 5) ; $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = (3; 1).

b) 4$\overrightarrow{u}$ = (4.2 ; 4.3) = (8; 12)

Vậy 4$\overrightarrow{u}$ = (8; 12).

Nhận xét:

– Vectơ $\overrightarrow{v}$(x’; y’) cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$(x; y) ≠ $\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khai tồn tại số k sao cho x’ = kx, y’ = ky (hay là $\frac{x\text{'}}{x}=\frac{y\text{'}}{y}$ nếu xy ≠ 0).

– Nếu điểm M có tọa độ (x; y) thì vectơ $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ (x; y) và độ dài $\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$.

– Với vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x; y), ta lấy điểm M(x; y) thì $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{OM}$. Do đó $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$.

– Với hai điểm M(x; y) và N(x’ ; y’) thì và khoảng cách giữa hai điểm M, N là MN = $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{{(x\text{'}-x)}^2+{(y\text{'}-y)}^2}$.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1; –2), B(3; 2), C(7; 4).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$.

b) So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.

c) Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không?

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-1;2-(-2\left)\right)=(2;4)$;

$\overrightarrow{BC}=(7-3;4-2)=(4;2).$

b) Các khoảng cách từ B đến A và C lần lượt là:

AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$;

BC = $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

Suy ra AB = BC = $2\sqrt{5}$.

Vậy khoảng cách từ B đến A bằng khoảng cách từ B đến C.

c) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;4)$ và $\overrightarrow{BC}=(4;2)$ không cùng phương (vì $\frac{2}{4}\ne \frac{4}{2}$).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên cùng một đường thẳng.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Chú ý:

- Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

- Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài 14: Các số đặc trưng. Đo độ phân tán