Giải Toán 10 Bài 3 (Kết nối tri thức): Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải bài tập Toán 10 Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài giảng Toán 10 Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Mở đầu

Mở đầu trang 22 Toán 10 Tập 1: Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 1 – 6, một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả của một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại:

Loại 1 (dành cho trẻ từ 6 – 13 tuổi): 50 000 đồng/vé;

Loại 2 (dành cho người trên 13 tuổi): 100 000 đồng/vé.

Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng. Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?

Lời giải

Sau khi học xong bài này ta có thể giải quyết bài toàn như sau:

Gọi số vé loại 1 bán được là x (vé) (x$\in {\mathbb{N}}^{*}$).

Gọi số vé loại 2 bán được là y (vé) (y$\in {\mathbb{N}}^{*}$)

Tổng số tiền bán vé thu được là 50 000x + 100 000y

Vì nếu số tiền đạt tối thiểu 20 000 000 đồng thì rạp chiếu phim không phải bù lỗ nên trường hợp rạp chiếu phim phải bù lỗ khi số tiền vé bán được nhỏ hơn 20 000 000 đồng.

Do đó, 50 000x + 100 000y < 20 000 000.

Vậy với mỗi x; y vé thỏa mãn bất phương trình trên thì rạp phim phải bù lỗ.

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải Toán 10 trang 22 Tập 1

HĐ 1 trang 22 Toán 10 Tập 1: Trong tình huống mở đầu, gọi x là số vé loại 1 bán được và y là số vé loại 2 bán được. Viết biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo x và y.

a) Các số nguyên không âm x và y thỏa mãn điều kiện gì để số tiền bán vé thu được đạt tối thiểu 20 triệu đồng?

b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì x và y thỏa mãn điều kiện gì?

Lời giải

Gọi số vé loại 1 bán được là x (vé) (x$\in {\mathbb{N}}^{*}$).

Gọi số vé loại 2 bán được là y (vé) (y$\in {\mathbb{N}}^{*}$)

Tổng số tiền bán vé thu được là 50x + 100y (nghìn đồng).

a) Để số tiền bán vé đạt tối thiểu 20 triệu đồng (20 000 nghìn đồng) thì x; y phải thỏa mãn:

50x + 100y $\ge$20 000.

b) Nếu số vé bán được nhỏ hơn 20 triệu đồng (20 000 nghìn đồng) thì x; y phải thỏa mãn điều kiện:

50x + 100y < 20 000.

Giải Toán 10 trang 23 Tập 1

HĐ 2 trang 23 Toán 10 Tập 1: Cặp số (x; y) = (100; 100) thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai bất phương trình thu được ở HĐ1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2.

Trả lời câu hỏi tương tự với cặp số (x; y) = (150; 150).

Lời giải

+ Thay x = 100; y = 100 vào biểu thức tính tiền 50x + 100y ta được:

50 . 100 + 100 . 100 = 15 000 (nghìn đồng)

Vì 15 000 < 20 000 nên x = 100; y = 100 thỏa mãn bất phương trình 50x + 100y < 20 000 và không thỏa mãn bất phương trình 50x + 100y $\ge$20 000.

Vậy nếu rạp chiều phim chỉ bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim phải bù lỗ.

+ Thay x = 150; y = 150 vào biểu thức tính tiền 50x + 100y ta được:

50 . 150 + 100 . 150 = 22 500 (nghìn đồng)

Vì 22 500 > 20 000 nên x = 150; y = 150 thỏa mãn bất phương trình 50x + 100y $\ge$ 20 000 và không thỏa mãn mãn bất phương trình 50x + 100y < 20 000.

Nếu rạp chiếu phim bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2 thì rạp chiếu phim không phải bù lỗ.

Luyện tập 1 trang 23 Toán 10 Tập 1: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y ≥ 0.

a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.

b) Với y = 0, có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho?

Lời giải

a) Xét x = 0 và y = 0 ta được:

0 + 2.0 $\ge$0$\iff 0\ge 0$ (luôn đúng)

Vậy (0; 0) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Xét x = 1; y = 2 ta được:

1 + 2.2 $\ge 0\iff 5\ge 0$ (luôn đúng)

Vậy (1; 2) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Với y = 0 thay vào bất phương trình ta được:

x + 2.0 $\ge 0\iff x\ge 0$

Vậy với giá trị y = 0 có vô số giá trị x thỏa mãn bất phương trình sao cho $x\ge 0$.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

HĐ 3 trang 23 Toán 10 tập 1: Cho đường thẳng d: 2x – y = 4 trên mặt phẳng tọa độ Oxy (H.2.1). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

a) Các điểm O(0; 0), A(-1; 3) và B(-2; -2) có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d không?

Tính giá trị của biểu thức 2x – y tại các điểm đó và so sánh với 4.

b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm C(3; 1), D(4; - 1).

Lời giải

a) Quát sát hình vẽ ta thấy O; A; B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm O(0; 0) vào biểu thức 2x – y ta được:

2.0 – 0 = 0 < 4.

+ Thay tọa độ điểm A(-1; 3) vào biểu thức 2x – y ta được:

2.(-1) – 3 = -5 < 4.

+ Thay tọa độ điểm B(-2; -2) vào biểu thức 2x – y ta được:

2.(-2) – (-2) = -2 < 4.

b) Quát sát hình vẽ ta thấy C; D thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm C(3; 1) vào biểu thức 2x – y ta được:

2.3 – 1 = 5 > 4.

+ Thay tọa độ điểm D(4; -1) vào biểu thức 2x – y ta được:

2.4 + 1 = 9 > 4.

Giải Toán 10 trang 24 Tập 1

Luyện tập 2 trang 24 Toán 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x + y < 200 trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải

Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 2x + y – 200 = 0 trên mặt phẳng tọa độ.

Bước 2: Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d.

Thay x = 0, y = 0 vào 2x + y ta được: 2.0 + 0 = 0 < 200.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d có chứa điểm O (miền tô màu không chứa đường thẳng d).

Giải Toán 10 trang 25 Tập 1

Vận dụng trang 25 Toán 10 Tập 1: Một công ty viễn thông tính phí 1 nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và 2 nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng?

Lời giải

Gọi số phút gọi nội mạng em sử dụng là x; số phút gọi ngoại mạng em sử dụng là $y (x; y \ge 0).$

Khi đó số tiền phải trả cho số phút gọi nội mạng là x (nghìn đồng); số tiền phải trả cho số phút gọi ngoại mạng là 2y (nghìn đồng).

Tổng số tiền phải trả cho x phút gọi nội mạng và y phút gọi ngoại mạng là: x + 2y (nghìn đồng)

Để số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng thì x; y phải thỏa mãn bất phương trình:

x + 2y < 200.

Do đó, muốn số tiền trả ít hơn 200 nghìn đồng thì số phút gọi nội mạng và số phút gọi ngoại mạng y phải là nghiệm của bất phương trình x + 2y < 200.

Chẳng hạn với x = 50, y = 50 thì x + 2y = 50 + 2 . 50 = 150 < 200, do đó cặp số (50; 50) thỏa mãn bất phương trình x + 2y < 200 nên nếu gọi 50 phút nội mạng và 50 phút ngoại mạng thì số tiền phải trả sẽ ít hơn 200 nghìn đồng.

Bài tập

Bài 2.1 trang 25 Toán 10 Tập 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 2x + 3y > 6;

b) 2²x + y ≤ 0;

c) 2x² – y ≥ 1.

Lời giải

a) 2x + 3y > 6 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó có dạng ax + by > c.

với a, b không đồng thời bằng 0.

b) 2²x + y ≤ 0$\iff$4x + y ≤ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó có dạng ax + by ≤ c, với a, b không đồng thời bằng 0.

c) 2x² – y ≥ 1 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó có x² (ẩn x với bậc là 2) với hệ số khác 0.

Bài 2.2 trang 25 Toán 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) 3x + 2y ≥ 300;

b) 7x + 20y < 0.

Lời giải

a) Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 3x + 2y = 300 trên mặt phẳng tọa độ.

Bước 2: Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d.

Thay x = 0, y = 0 vào 3x + 2y ta được: 3.0 + 2.0 = 0 < 300.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d không chứa điểm O (miền tô màu chứa đường thẳng d).

b) Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 7x + 20y = 0 trên mặt phẳng tọa độ.

Bước 2: Lấy điểm A(100; 100) không thuộc đường thẳng d.

Thay x = 100, y = 100 vào 7x + 20y ta được: 7.100 + 20.100 = 2700 > 0.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d không chứa điểm A (miền tô màu khôngchứa đường thẳng d).

Bài 2.3 trang 25 Toán 10 Tập 1: Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:

a) Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải

a) Số tiền ông An phải trả cho việc thuê xe ô tô từ thứ Hai đến thứ Sáu là:

900.5 + 8x = 4 500 + 8x (nghìn đồng).

Số tiền ông An phải trả cho việc thuê xe ô tô từ thứ Bảy và Chủ nhật là:

1 500.2 + 10y = 3 000 + 10y (nghìn đồng).

Tổng số tiền ông An phải trả cho việc thuê xe trong một tuần là:

4 500 + 8x + 3 000 + 10y = 7 500 + 8x + 10y (nghìn đồng).

Để tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng thì

7 500 + 8x + 10y ≤ 14 000

⇔ 8x + 10y ≤ 6 500.

⇔ 4x + 5y ≤ 3 250.

Vậy bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng là 4x + 5y ≤ 3 250.

b)

Vẽ đường thẳng d: 4x + 5y = 3 250 trên mặt phẳng tọa độ.

Lấy gốc tọa độ O(0; 0) và tính 4.0 + 5.0 = 0 < 3 250.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d chứa gốc tọa độ và cả đường thẳng d (miền không bị gạch kể cả biên).

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

$\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{by}\ge \mathrm{c},\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c},\mathrm{ax}+\mathrm{by}>\mathrm{c}\right)$

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

- Cặp số $\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$ nếu bất đẳng thức ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0\le \mathrm{c}$ đúng.

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Ví dụ:

$5\mathrm{x}+2\mathrm{y}<4$ có dạng ax + by < c với a = 5, b = 2, c = 4 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$5\mathrm{x}+2\mathrm{y}-3\mathrm{z}>3$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ba ẩn x, y, z.

Nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4:

Xét cặp số (–1; –2) có 5.(–1) + 2(–2) = –9 < 4 nên cặp số (–1; –2) là nghiệm của bất phương trình.

Xét cặp số (0; 0) có 5.0 + 2.0 = 0 < 4 nên cặp số (0; 0) là nghiệm của bất phương trình.

Xét cặp số (–1;2) có 5.(–1) + 2.2 = –1 < 4 nên cặp số (–1;2) là nghiệm của bất phương trình.

Ta có thể tìm thêm được nhiều cặp số thỏa mãn bất phương trình đã cho. Do đó bất phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 2y < 4 có các cặp nghiệm là (–1; –2); (0; 0); (–1; 2) … hay bất phương trình này có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

- Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành 2 nửa mặt phẳng bờ d:

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}>\mathrm{c}$;

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$;

Bờ d gồm các điểm có tọa độ $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$.

- Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$:

+ Vẽ đường thẳng $\mathrm{d}:\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Lấy một điểm ${\mathrm{M}}_0\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ không thuộc d.

+ Tính ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0$ và so sánh với c.

+ Nếu ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0<\mathrm{c}$ thì nửa mặt phẳng bờ d chứa ${\mathrm{M}}_0$ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0>\mathrm{c}$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa ${\mathrm{M}}_0$ là miền nghiệm của bất phương trình.

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$ là miền nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$ bỏ đi đường thẳng $\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$ và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $5\mathrm{x}-7\mathrm{y}\le 0$ trên mặt phẳng tọa độ:

Bước 1: Vẽ đường thẳng $\mathrm{d}:5\mathrm{x}-7\mathrm{y}=0$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Lấy điểm ${\mathrm{M}}_0\left(0;1\right)$ không thuộc d và thay x = 0 và y = 1 vào biểu thức $5\mathrm{x}-7\mathrm{y}$ ta được $5.0-7.1=-7<0$ là mệnh đề đúng.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm ${\mathrm{M}}_0$ (miền không bị gạch)

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài ôn tập chương 2

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trắc nghiệm Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn