Giải Toán 10 Bài 12 (Kết nối tri thức): Số gần đúng và sai số

Giải bài tập Toán 10 Bài 12: Số gần đúng và sai số

Mở đầu

Mở đầu trang 73 Toán 10 Tập 1: Đỉnh Everest được mệnh danh là “nóc nhà của thế giới”, bởi đây là đỉnh núi cao nhất trên Trái Đất so với mực nước biển. Có rất nhiều con số khác nhau đã từng được công bố về chiều cao của đỉnh Everest:

8 848 m; 8 848,13m; 8 844,43m; 8 850m; …

Vì sao lại có nhiều kết quả khác nhau như vậy và đâu là con số chính xác? Chúng ta sẽ cùng tìm câu trả lời trong bài học này, sau khi tìm hiểu về số gần đúng và sai số.

Lời giải:

Khi đo độ cao đỉnh núi Everest người ta không thể đo trực tiếp một cách chính xác mà phải thông qua tính toán.

Mỗi vị trí quan sát hoặc trong tính toán, có những con số không thể lấy chính xác đo đó kết quả thu được cũng không giống nhau.

Ngoài ra có thể người ta đã làm tròn kết quả để được một con số gọn mà chính xác nhất có thể, nên các kết quả cũng khác nhau.

Qua nhiều lần đo, người ta đưa ra được chiều cao của đỉnh Everest là 8 848,86 m.

1. Số gần đúng

Giải Toán 10 trang 74 Tập 1

HĐ 1 trang 74 Toán 10 Tập 1: Ngày 8–12–2020, Trung Quốc và Nepal ra thông cáo chung khẳng định chiều cao mới đo được của đỉnh núi cao nhất thế giới Everest là 8 848,86m.

Trong các số được đưa ra ở tình huống mở đầu, số nào gần với số được công bố ở trên?

Lời giải:

Ta có:

|8 848,86 – 8 848| = 0,86;

|8 848,86 – 8 848,13| = 0,73;

|8 848,86 – 8 844,43| = 4,43;

|8 848,86 – 8 850| = 1,14.

Trong các số 0,86; 0,73; 4,43; 1,14 thì số 0,73 là số nhỏ nhất.

Do đó trong các số 8 848 m; 8 848,13 m; 8 844,43 m; 8 850 m thì số 8 848,13 m là số gần nhất với số được công bố ngày 8–12–2020.

HĐ 2 trang 74 Toán 10 Tập 1: Trang và Hòa thực hiện đo thể tích một cốc nước bằng hai ống đong có vạch chia được kết quả như Hình 5.1. Hãy cho biết số đo thể tích trên mỗi ống.

Lời giải

Giả sử ống đong nước thứ nhất là Trang đo và ống đong nước thứ hai là Hòa đo.

Khi đó ống thứ nhất đo được là 13 cm³, ống thứ hai là 13,1 cm³.

Câu hỏi trang 74 Toán 10 Tập 1: Hãy lấy một ví dụ khác về số gần đúng.

Lời giải:

Ta không thể biết chính xác giá trị của $\sqrt{5}$.

Ta có: $\sqrt{5}\approx 2,236$.

Do đó số gần đúng của $\sqrt{5}$ là 2,236.

Luyện tập 1 trang 74 Toán 10 Tập 1: Gọi P là chu vi của đường tròn bán kính 1 cm. Hãy tìm một giá trị gần đúng của P.

Lời giải:

Chu vi đường tròn bán kính 1 cm là:

P = 2π.1 = 2π (cm)

Bấm máy tính ta thấy 2π ≈ 6,283.

Vậy giá trị gần đúng của P là 6,283 cm.

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

HĐ 3 trang 74 Toán 10 Tập 1: Trong HĐ2, Hòa dùng kính lúp để quan sát mực nước trên ống đo thứ hai được hình ảnh như Hình 5.2. Kí hiệu $\overline{a}$ (cm³) là số đo thể tích của nước.

Quan sát hình vẽ để so sánh $\left|13-\overline{a}\right|$ và $\left|13,1-\overline{a}\right|$ rồi cho biết trong hai số đo thể tích 13 cm³ và 13,1 cm³, số đo nào gần với thể tích của cốc nước hơn.

Lời giải:

Quan sát hình vẽ trên, ta thấy số 13,1 gần $\overline{a}$ hơn số 13.

Do đó 13,1 cm³ gần với thể tích của cốc nước hơn.

Giải Toán 10 trang 75 Tập 1

Luyện tập 2 trang 75 Toán 10 Tập 1: Một phép đo đường kính nhân tế bào cho kết quả là 5 ± 3 μm. Đường kính thực của nhân tế bào thuộc đoạn nào?

Lời giải:

Gọi $\overline{a}$ là đường kính thực của nhân tế bào.

Vì phép đo đường kính nhân tế bào cho kết quả là 5 ± 3 μm.

Suy ra: a = 5 μm; d = 0,3 μm.

Tuy không biết $\overline{a}$ nhưng ta xem đường kính của nhân tế bào là 5 μm nên 5 là số gần đúng cho $\overline{a}$. Độ chính xác là 0,3 μm.

Do đó, giá trị của $\overline{a}$ nằm trong đoạn: [5 – 0,3; 5 + 0,3] hay [4,7;5,3] μm.

HĐ 4 trang 75 Toán 10 Tập 1: Công ty (trong Ví dụ 2) cũng sử dụng dây chuyền B để đóng gạo với khối lượng chính xác là 20 kg. Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là: 20 ± 0,5 (kg).

Khẳng định “Dây chuyền A tốt hơn dây chuyền B” là đúng hay sai?

Lời giải:

Công ty sử dụng dây chuyền A đóng bao gạo với khối lượng mỗi bao là 5 kg và sai số tuyệt đối là 0,2 kg.

Công ty sử dụng dây chuyền B đóng bao gạo với khối lượng mỗi bao là 20 kg và sai số tuyệt đối là 0,5 kg.

Mặc dù độ chính xác của khối lượng bao gạo đóng bằng dây chuyền A nhỏ hơn nhưng do bao gạo đóng bằng dây chuyền B nặng hơn nhiều nên ta không dựa vào sai số tuyệt đối để so sánh.

Do đó câu hỏi này ta chưa thể trả lời chính xác được nếu chỉ dựa vào các kiến thức đã học trước đó.

Giải Toán 10 trang 76 Tập 1

Luyện tập 3 trang 76 Toán 10 Tập 1: Đánh giá sai số tương đối của khối lượng bao gạo được đóng gói theo hai dây chuyền A, B ở Ví dụ 2 và HĐ4. Dựa trên tiêu chí này, dây chuyền nào tốt hơn?

Lời giải:

Xét dây chuyền A, ta có: a = 5 và d = 0,2.

Khi đó, sai số tương đối của dây chuyền A là:

$S_1\le \frac{d}{\left|a\right|}=\frac{0,2}{\left|5\right|}=0,04=4\%.$

Đối với dây chuyền B, ta có: a = 20 và d = 0,5.

Khi đó, sai số tương đối của dây chuyền B là:

$S_2\le \frac{d}{\left|a\right|}=\frac{0,5}{\left|20\right|}=0,025=2,5\%.$

Ta thấy 2,5% < 4% nên chất lượng của dây chuyền B tốt hơn.

Vậy chất lượng của dây chuyền B tốt hơn.

3. Quy tròn số gần đúng

Giải Toán 10 trang 77 Tập 1

Luyện tập 4 trang 77 Toán 10 Tập 1: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:

a) 11 251 900 ± 300;

b) 18,2857 ± 0,01.

Lời giải:

a) Vì độ chính xác đến hàng trăm (d = 300) nên hàng làm tròn là hàng nghìn. Chữ số hàng nghìn của số 11 251 900 là 1.

Ta thấy bên phải chữ số hàng nghìn 1 là chữ số 9 > 5 nên ta tăng chữ số hàng nghìn thêm 1 đơn vị là 2 đồng thời các chữ số từ hàng trăm trở đi thay bằng các chữ số 0.

Vậy số quy tròn của 11 251 900 là 11 252 000

b) Vì độ chính xác đến hàng phần trăm (d = 0,01) nên hàng làm tròn là hàng phần mười. Chữ số hàng phần mười của số 18,2857 là 2.

Vì số bên phải chữ số 2 là chữ số 8 > 5 nên ta tăng chữ số hàng phần mười thêm 1 đơn vị là 3 đồng thời bỏ đi các số từ hàng phần trăm trở đi.

Vậy số quy tròn của 18,2857 là 18,3.

Vận dụng trang 77 Toán 10 Tập 1: Các nhà vật lí sử dụng hai phương pháp khác nhau để đo tuổi của vũ trụ (đơn vị tỉ năm) lần lượt cho hai kết quả 13,807 ± 0,026 và 13,799 ± 0,021.

Hãy đánh giá sai số tương đối của mỗi phương pháp. Căn cứ trên tiêu chí này, phương pháp nào cho kết quả chính xác hơn?

Lời giải:

Xét phương pháp 1, ta có: a = 13,807 và d = 0,026.

Khi đó, sai số tương đối của phương pháp 1 là:

$S_1\le \frac{d}{\left|a\right|}=\frac{0,026}{\left|13,807\right|}\approx 0,0019=0,19\%.$

Xét phương pháp 2, ta có: a = 13,799 và d = 0,021.

Khi đó, sai số tương đối của phương pháp 2 là:

$S_2\le \frac{d}{\left|a\right|}=\frac{0,021}{\left|13,799\right|}\approx 0,0015=0,15\%.$

Vì 0,15% < 0,19% nên phương pháp 2 cho kết quả chính xác hơn.

Vậy phương pháp 2 cho kết quả chính xác hơn.

Bài tập

Bài 5.1 trang 77 Toán 10 Tập 1: Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?

a) Cân một túi gạo cho kết quả là 10,2 kg.

b) Bán kính Trái Đất là 6 371 km.

c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất 365 ngày.

Lời giải:

a) Mỗi loại cân có độ chia khác nhau nên khi đo hiển nhiên sẽ có sai số và ta không thể cân chính xác được khối lượng của túi gạo.

Vậy khối lượng túi gạo là 10,2 kg là số gần đúng.

b) Vì bề mặt Trái Đất không bằng phẳng nên không thể xác định được chính xác tâm của Trái Đất.

Do đó không thể xác định được chính xác bán kính của Trái Đất.

Vậy bán kính Trái Đất là 6 371 km là số gần đúng.

c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất 365 ngày, 5 giờ, 59 phút và 16 giây.

Vậy Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất 365 ngày là số gần đúng.

Bài 5.2 trang 77 Toán 10 Tập 1: Giải thích kết quả: “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là 1 235 ± 5 m” và thực hiện làm tròn số gần đúng.

Lời giải:

“Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là 1 235 ± 5 m” tức là độ cao gần đúng của ngọn núi là a = 1 235m và độ chính xác là d = 5.

Do đó độ cao của một ngọn núi nằm trong khoảng [1 235 – 5; 1 235 + 5] hay [1 230; 1 240].

Làm tròn số gần đúng a = 1 235.

Vì độ chính xác đến hàng đơn vị (d = 5) nên ta làm tròn a đến hàng chục theo quy tắc làm tròn. Số quy tròn của a là 1 240.

Bài 5.3 trang 77 Toán 10 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho $\sqrt[3]{7}$ với độ chính xác 0,0005.

Lời giải:

Sử dụng máy tính cầm tay, ta có: $\sqrt[3]{7}\approx 1,\mathrm{912931183...}$

Độ chính xác d = 0,0005 nên ta có hàng làm tròn là hàng phần nghìn.

Chữ số ở hàng phần nghìn là số 2, chữ số bên phải là chữ số 9 > 5 nên ta tăng chữ số hàng phần nghìn thêm 1 đơn vị là 3 đồng thời bỏ các chữ số từ hàng phần chục nghìn trở đi.

Do đó, số quy tròn của 1,912931183 là 1,913.

Vậy số gần đúng của $\sqrt[3]{7}$ với độ chính xác 0,0005 là 1,913.

Bài 5.4 trang 77 Toán 10 Tập 1: Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:

67,31 ± 0,96;

67,90 ± 0,55;

67,74 ± 0,46.

Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?

Lời giải:

∙ Phương pháp 1: 67,31 ± 0,96.

Ta có: a = 67,31 và d = 0,96.

Khi đó, sai số tương đối của phương pháp 1 là:

$S_1\le \frac{d}{\left|a\right|}=\frac{0,96}{\left|67,31\right|}\approx 0,0143=1,43\%.$

∙ Phương pháp 2: 67,90 ± 0,55.

Ta có: a = 67,90 và d = 0,55.

Khi đó, sai số tương đối của phương pháp 2 là:

$S_2\le \frac{d}{\left|a\right|}=\frac{0,55}{\left|67,90\right|}\approx 0,0081=0,81\%.$

∙ Phương pháp 3: 67,74 ± 0,46.

Ta có: a = 67,74 và d = 0,46.

Khi đó, sai số tương đối của phương pháp 3 là:

$S_3\le \frac{d}{\left|a\right|}=\frac{0,46}{\left|67,74\right|}\approx 0,0068=0,68\%.$

Vì 0,68 < 0,81 < 1,43 nên sai số tương đối của phương pháp 3 là nhỏ nhất. Do đó phương pháp 3 cho kết quả chính xác nhất.

Vậy phương pháp 3 cho kết quả chính xác nhất theo sai số tương đối.

Bài 5.5 trang 77 Toán 10 Tập 1: An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính 2 cm với hai kết quả như sau:

Kết quả của An: S₁ = 2πR ≈ 2 . 3,14 . 2 = 12,56 cm;

Kết quả của Bình: S₂ = 2πR ≈ 2 . 3,1 . 2 = 12,4 cm.

Hỏi:

a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?

b) Giá trị nào chính xác hơn?

Lời giải

a) Vì công thức chu vi đường tròn là 2πR với R là độ dài bán kính, trong đó π là số không thể tính chính xác được mà chỉ có thể lấy số gần đúng nên hai giá trị tính được là số gần đúng.

Vậy giá trị tính được của An và Bình là các số gần đúng.

b) Kết quả của An: S₁ = 2πR ≈ 2 . 3,14 . 2 = 12,56 (cm);

Kết quả của Bình: S₂ = 2πR ≈ 2 . 3,1 . 2 = 12,4 (cm).

Ta thấy 3,14 > 3,1 hay S₁ > S₂.

Do đó |2πR − S₁| < |2πR − S₂|.

Vậy giá trị của An chính xác hơn.

Bài 5.6 trang 77 Toán 10 Tập 1: Làm tròn số 8 316,4 đến hàng chục và 9,754 đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.

Lời giải:

* Làm tròn số 8 316,4 đến hàng chục:

Chữ số hàng chục của số 8 316,4 là 1, chữ số bên phải chữ số 1 là 6.

Mà 6 > 5 nên ta tăng chữ số hàng chục thêm 1 đơn vị là 2 đồng thời đổi chữ số hàng đơn vị là chữ số 0.

Khi đó, làm tròn số 8 316,4 đến hàng chục là 8 320.

Do đó số quy tròn là: 8 320.

Sai số tuyệt đối: |8320 − 8316,4| = 3,6.

* Làm tròn số 9,754 đến hàng phần trăm:

Chữ số hàng phần trăm của số 9,754 là 5, chữ số bên phải chữ số 5 là 4.

Mà 4 < 5 nên ta giữ nguyên chữ số hàng phần trăm là 5 và bỏ đi chữ số bên phải.

Khi đó, làm tròn số 9,754 đến hàng phần trăm là 9,75.

Do đó số quy tròn là: 9,75.

Sai số tuyệt đối: |9,754 − 9,75| = 0,004.

Lý thuyết Số gần đúng và sai số

1. Số gần đúng

Trong nhiều trường hợp, ta không biết hoặc khó biết số đúng (kí hiệu là $\overline{a}$) mà chỉ tìm được giá trị xấp xỉ nó. Giá trị này được gọi là số gần đúng, kí hiệu là a.

Chú ý:

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tìm giá trị gần đúng của các biểu thức chứa các số vô tỉ như π, $\sqrt{a},\sqrt[3]{a}$,...

Ví dụ:

+ Hình tròn có bán kính R = 2cm.

Chu vi của hình tròn là 2.π.2 = 4π ≈ 12,57 (cm).

Vậy 4π là số đúng; 12,57 là số gần đúng của chu vi hình tròn.

+ Ta có $\sqrt[3]{3}\approx 1,44$.

Vậy $\sqrt[3]{3}$ là số đúng; 1,44 là số gần đúng.

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

a) Sai số tuyệt đối

Giá trị ${\Delta }_a=\left|a-\overline{a}\right|$ phản ánh mức độ sai lệch giữa số đúng $\overline{a}$ và số gần đúng a, được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

Ví dụ:

Ta có: $3^7.\sqrt{6}\approx 5357$.

Suy ra $\overline{a}=3^7.\sqrt{6}$ là số đúng; a = 5357 là số gần đúng.

Khi đó ta có: ${\Delta }_a=\left|a-\overline{a}\right|=\left|5357-3^7.\sqrt{6}\right|\approx 0,034$.

Vậy ∆_a = 0,034 là sai số tuyệt đối của số gần đúng a = 5357.

Chú ý:

+ Trên thực tế, nhiều khi ta không biết $\overline{a}$ nên cũng không biết ∆_a. Tuy nhiên, ta có thể đánh giá được ∆_a không vượt quá một số dương d nào đó.

+ Nếu ∆_a ≤ d thì a – d ≤ $\overline{a}$ ≤ a + d, khi đó ta viết $\overline{a}$ = a ± d và hiểu là số đúng $\overline{a}$ nằm trong đoạn [a – d; a + d]. Do đó d càng nhỏ thì a càng gần $\overline{a}$ nên d được gọi là độ chính xác của số gần đúng.

+ Trong các phép đo, độ chính xác d của số gần đúng bằng một nửa đơn vị của thước đo. Chẳng hạn, một thước đo có chia vạch đến xentimét thì mọi giá trị đo nằm giữa 6,5 cm và 7,5 cm đều được coi là 7 cm. Vì vậy, thước đo có thang đo càng nhỏ thì cho giá trị đo càng chính xác.

Ví dụ: Trên hộp bánh có ghi khối lượng tịnh là 500g ± 5g.

+ Khối lượng thực tế của hộp bánh $\overline{a}$ là số đúng. Tuy không biết $\overline{a}$ nhưng ta xem khối lượng hộp bánh là 500g nên 500 là số gần đúng cho $\overline{a}$. Độ chính xác d = 5 (g).

+ Giá trị của $\overline{a}$ nằm trong đoạn [500 – 5; 500 + 5] hay [495; 505].

b) Sai số tương đối

Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δ_a, là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và |a|, tức là ${\delta }_a=\frac{{\Delta }_a}{\left|a\right|}$.

Ví dụ: Bao bì của một chai nước suối có ghi thể tích thực là 350 ml, biết rằng sai số tuyệt đối là 2 ml. Tìm sai số tương đối của chai nước suối.

Hướng dẫn giải

Ta có a = 350 (ml) và ∆_a = 2 (ml), do đó sai số tương đối là:

${\delta }_a=\frac{{\Delta }_a}{\left|a\right|}=\frac{2}{350}\approx 0,57\%$.

Nhận xét:

Nếu $\overline{a}=a\pm d$ thì ∆_a ≤ d, do đó ${\delta }_a\le \frac{d}{\left|a\right|}$. Nếu $\frac{d}{\left|a\right|}$ càng nhỏ thì chất lượng của phép đo hay tính toán càng cao. Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm.

Ví dụ: Trên các chai cồn xịt khuẩn có ghi thể tích thực như sau:

+ Chai 1: 500ml ± 3ml;

+ Chai 2: 1000ml ± 8ml.

Chai nào ghi thể tích thực chính xác hơn tính theo sai số tương đối?

Hướng dẫn giải

+ Chai 1: a₁ = 500 (ml) và d = 3 (ml), do đó sai số tương đối là:

${\delta }_1\le \frac{d}{\left|a\right|}=\frac{3}{500}=0,6\%$.

+ Chai 2: a₂ = 1000 (ml) và d = 8 (ml), do đó sai số tương đối là:

${\delta }_2\le \frac{d}{\left|a\right|}=\frac{8}{1000}=0,8\%$.

Vì 0,6% < 0,8% nên δ₁ < δ₂.

Vậy chai 1 ghi thể tích thực chính xác hơn chai 2 tính theo sai số tương đối.

3. Quy tròn số gần đúng

Số thu được sau khi thực hiện làm tròn số được gọi là số quy tròn. Số quy tròn là một số gần đúng của số ban đầu.

Ví dụ:

+ Số quy tròn của số 12,64 đến hàng đơn vị là 13;

+ Số quy tròn của số 500,876 đến hàng phần mười là 500,9.

Chú ý:

• Đối với chữ số hàng làm tròn:

+ Giữ nguyên nếu chữ số ngay bên phải nó nhỏ hơn 5;

+ Tăng 1 đơn vị nếu chữ số ngay bên phải nó lớn hơn hoặc bằng 5.

• Đối với chữ số sau hàng làm tròn:

+ Bỏ đi nếu ở phần thập phân;

+ Thay bởi các chữ số 0 nếu ở phần số nguyên.

Ví dụ:

a) Làm tròn số 5437,56 đến hàng trăm, số 22,758 đến hàng phần mười và số đúng d ∈ [6,5; 7,5) đến hàng đơn vị. Đánh giá sai số tuyệt đối của phép làm tròn số đúng d.

b) Cho số gần đúng a = 3,67 với độ chính xác d = 0,02. Số đúng thuộc đoạn nào? Nếu làm tròn số a thì nên làm tròn đến hàng nào? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) Số quy tròn của số 5437,56 đến hàng trăm là 5400;

Số quy tròn của số 22,758 đến hàng phần mười là 22,8;

Mọi số đúng d ∈ [6,5; 7,5) khi làm tròn đến hàng đơn vị đều thu được số quy tròn là 7 và sai số tuyệt đối |d – 7| ≤ 0,5.

b) Số đúng $\overline{a}$ thuộc đoạn [3,67 – 0,02; 3,67 + 0,02] hay [3,65; 3,69]. Khi làm tròn số gần đúng a ta nên làm tròn đến hàng phần chục do chữ số hàng phần trăm của a là chữ số không chắc chắn đúng.

Nhận xét:

+ Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng làm tròn.

+ Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu làm tròn số a mà không nói rõ làm tròn đến hàng nào thì ta làm tròn số a đến hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.

Ví dụ: Cho số gần đúng a = 213 666 với độ chính xác d = 10. Hãy viết số quy tròn của số a.

Hướng dẫn giải

Vì độ chính xác đến hàng chục (d = 10) nên ta làm tròn đến hàng trăm theo quy tắc làm tròn như trên. Số quy tròn của a là 213 700.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài 14: Các số đặc trưng. Đo độ phân tán

Bài ôn tập cuối chương 5

Tìm hiểu một số kiến thức về tài chính

Mạng xã hội: lợi và hại