Giải Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 2

Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 2

A. Trắc nghiệm

Giải Toán 10 trang 31 Tập 1

Bài 2.7 trang 31 Toán 10 Tập 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. x + y > 3;

B. x² + y² ≤ 4;

C. (x – y)(3x + y) ≥ 1;

D. y³ – 2 ≤ 0.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Vì x + y > 3 có dạng ax + by > c với a = 1; b = 1; c = 3.

Bài 2.8 trang 31 Toán 10 Tập 1: Cho bất phương trình 2x + y > 3. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

C. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.

D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\left[3;+\infty \right)$.

Lời giải

Đáp án đúng là C

Có vô số cặp số (x₀; y₀) thỏa mãn 2x₀ + y₀ > 3.

Do đó bất phương trình 2x + y > 3 có vô số nghiệm

Bài 2.9 trang 31 Toán 10 Tập 1: Hình nào sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x – y < 3?

Lời giải

Đáp án đúng là D

Ta vẽ đường thẳng x – y = 3

Ta có: 0 – 0 = 0 < 3. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x – y < 3 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x – y = 3 có chứa điểm O(0; 0) không kể biên.

Bài 2.10 trang 31 Toán 10 Tập 1: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $\left\{\begin{array}{l}x-y<0\\ 2y\ge 0\end{array}\right.;$

B. $\left\{\begin{array}{l}3x+y^3<0\\ x+y>3\end{array}\right.;$

C. $\left\{\begin{array}{l}x+2y<0\\ y^2+3<0\end{array}\right.;$

D. $\left\{\begin{array}{l}-x^3+y<4\\ x+2y<1\end{array}\right.;$

Lời giải

Đáp án đúng là A

Vì cả hai bất phương trình của hệ ở đáp án A đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải Toán 10 trang 32 Tập 1

Bài 2.11 trang 32 Toán 10 Tập 1: Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y<-3\\ 2y\ge -4\end{array}\right..$ Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. (0;0);

B. (-2;1);

C. (3;-1);

D. (-3;1).

Lời giải

Đáp án đúng là D

Thay tọa độ từng điểm và hệ bất phương trình ta thấy đáp án D đúng

$\left\{\begin{array}{l}-3-1=-4<-3\\ 2.1=2\ge -4\end{array}\right..$

B. Tự luận

Bài 2.12 trang 32 Toán 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $\frac{x+y}{2}\ge \frac{2x-y+1}{3}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải

Vẽ đường thẳng d: – x + 5y = 2.

Ta có: -0 + 5.0 = 0 < 2.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình -x + 5y $\ge$2 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng –x + 5y = 2, tính cả biên và không chứa điểm O(0; 0) (miền không bị gạch).

Bài 2.13 trang 32 Toán 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y<1\\ 2x-y\ge 3\end{array}\right.$ trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải

+) Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x + y < 1.

- Ta vẽ đường thẳng d: x + y = 1.

- Ta có: 0 + 0 = 0 < 1.

Do đó miền nghiệm D₁ của bất phương trình x + y < 1 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (không kể đường thẳng d) chứa gốc tọa độ O(0; 0).

+) Xác định miền nghiệm D₂ của bất phương trình 2x – y ≥ 3.

- Vẽ đường thẳng d’: 2x – y = 3.

- Ta có: 2.0 – 0 = 0 < 3.

Do đó miền nghiệm D₂ của bất phương trình 2x – y ≥ 3 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d’ (kể cả đường thẳng d’) và không chứa gốc tọa độ O(0; 0).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là phần không bị gạch chéo trong hình vẽ, không kể biên là đường thẳng d và kể cả biên là đường thẳng d’.

Bài 2.14 trang 32 Toán 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}y-2x\le 2\\ y\le 4\\ x\le 5\\ x+y\ge -1\end{array}\right.$ trên mặt phẳng tọa độ.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y) = - x – y với (x;y) thỏa mãn hệ trên.

Lời giải

+) Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}y-2x\le 2\\ y\le 4\\ x\le 5\\ x+y\ge -1\end{array}\right.$

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình y – 2x ≤ 2.

- Vẽ đường thẳng y – 2x = 2

- Ta có: 0 – 2.0 = 0 < 2.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình y – 2x ≤ 2 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y – 2x = 2 (tính cả đường thẳng đó) và chứa điểm O(0; 0).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 4.

- Vẽ đường thẳng y = 4.

- Ta có 3 ≤ 4

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 4 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y = 4 (tính cả đường thẳng đó) và chứa điểm (0; 3).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 5.

- Vẽ đường thẳng x = 5.

- Ta có 3 ≤ 5

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 5 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x = 5 (tính cả đường thẳng đó) và chứa điểm (3; 0).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ – 1.

- Vẽ đường thẳng x + y = -1

- Ta có: 0 + 0 = 0 > -1.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x + y ≥ -1 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x + y = -1 (tính cả đường thẳng đó) và không chứa điểm O(0; 0).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác ABCD (miền tô màu vàng) với tọa độ các đỉnh A(1; 4); B(5; 4); C(5; – 6); D(– 1; 0)

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của F(x; y) = – x – y được xác định với (x; y) là tọa độ của một trong bốn đỉnh A; B; C; D.

F(1; 4) = – 1 – 4 = – 5

F(5; 4) = – 5 – 4 = – 9

F(5; – 6) = – 5 – (– 6) = 1

F(– 1; 0) = – (– 1) – 0 = 1

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F là 1 tại (x;y) = (-1;0) hoặc (x;y) = (5;-6) và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là -9 tại (x;y) = (5;4)

Bài 2.15 trang 32 Toán 10 Tập 1: Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu: trái phiếu chính phủ với lãi suất 7% một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% một năm. Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?

Lời giải

Gọi số tiền bác An đầu tư cho trái phiếu chính phủ, trái phiếu ngân hàng lần lượt là x, y (triệu đồng) (0 ≤ x, y ≤ 1 200).

Khi đó bác An đầu tư cho trái phiếu doanh nghiệp là 1 200 – x – y (triệu đồng)

Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên ta có: x ≥ 3y hay x – 3y ≥ 0.

Để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên ta có: 1 200 – x – y ≤ 200 hay x + y ≥ 1 000.

Từ đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 1200\\ 0\le y\le 1200\\ x-3y\ge 0\\ x+y\ge 1000\end{array}\right.$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với tọa độ các điểm

A(1 000;0), B(750;250), C(1 200;400), D(1 200;0).

Lợi nhuận bác An thu được là: F(x;y) = 7%x + 8%y + 12%(1200 – x – y) = 144 – 0,05x – 0,04y (triệu đồng)

Tính giá trị của F(x;y) tại các điểm A, B, C, D, ta được:

F(1 000;0) = 144 – 0,05.1 000 – 0,04.0 = 94;

F(750;250) = 144 – 0,05.750 – 0,04.250 = 96,5;

F(1 200;400) = 144 – 0,05.1 200 – 0,04.400 = 68;

F(1 200;0) = 144 – 0,05.1 200 – 0,04.0 = 84;

Suy ra F(x; y) lớn nhất bằng 96,5 khi x = 750, y = 250.

Vậy bác An nên đầu tư 750 triệu đồng vào trái phiếu chính phủ, 250 triệu đồng vào trái phiếu ngân hàng và 200 triệu đồng vào trái phiếu doanh nghiệp để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Bài 2.16 trang 32 Toán 10 Tập 1: Một công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình. Biết cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền hình gấp 8 lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả gấp 8 lần trên đài phát thanh.

Đài phát thanh chỉ nhận được quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 900 giây với chi phí là 80 nghìn đồng/giây. Đài truyền hình chỉ nhận được các quảng cáo có tổng thời lượng tối đa trong một tháng tối đa là 360 giây với chi phí là 400 nghìn đồng/giây. Công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên các đài phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Gợi ý: Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo x (giây) trên đài phát thanh và y (giây) trên truyền hình là F(x; y) = x + 8y. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm F(x; y) với x, y thỏa mãn các điều kiện trong đề bài.

Lời giải

Gọi x (giây) là thời lượng quảng cáo trong một tháng công ty đặt trên đài truyền hình và y (giây) là thời lượng quảng cáo trong một tháng công ty đặt trên đài phát thanh. (0 ≤ x ≤ 360, 0 ≤ y ≤ 900).

Chi phí công ty chi trả cho quảng cáo trong một tháng là: 400x + 80y (nghìn đồng)

Vì công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới nên ta có:

400x + 80y ≤ 160 000 hay 5x + y ≤ 2 000.

Khi đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 360\\ 0\le y\le 900\\ 5x+y\le 2000\end{array}\right.$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác OABCD với tọa độ các điểm là O(0;0), A(0;900), B(220;900), C(360;200), D(360;0).

Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo x (giây) trên đài truyền hình và y (giây) trên đài phát thanh là F(x; y) = 8x + y.

Tính giá trị F(x; y) tại các điểm O, A, B, C, D, ta có:

Ta có: F(0; 0) = 8.0 + 0 = 0;

F(0; 900) = 8.0 + 900 = 900;

F(220; 900) = 8.220 + 900 = 2 660;

F(360; 200) = 8.360 + 200 = 3 080.

F(360; 0) = 8.360 + 0 = 2 880.

Suy ra F(x; y) đạt giá trị lớn nhất bằng 3 080 tại x = 360, y = 200.

Vậy công ty cần đặt thời gian quảng cáo 200 giây trên đài phát thanh và 360 giây trên đài truyền hình để đạt hiệu quả cao nhất.

Lý thuyết Bài tập cuối chương 2

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

$\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{by}\ge \mathrm{c},\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c},\mathrm{ax}+\mathrm{by}>\mathrm{c}\right)$

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

- Cặp số $\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$ nếu bất đẳng thức ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0\le \mathrm{c}$ đúng.

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Ví dụ:

$5\mathrm{x}+2\mathrm{y}<4$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$5\mathrm{x}+2\mathrm{y}-3\mathrm{z}>3$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ về nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4:

Vì 5.(-1) + 2(-2) = -9 < 4 nên cặp số (-1; -2) là nghiệm của bất phương trình.

Vì 5.0 + 2.0 = 0 < 4 nên cặp số (0; 0) là nghiệm của bất phương trình.

Vì 5.(-1) + 2.2 = -1 < 4 nên cặp số (-1;2) là nghiệm của bất phương trình.

Ta có thể tìm thêm được nhiều cặp số thỏa mãn bất phương trình đã cho. Do đó bất phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 2y < 4 có các cặp nghiệm là (-1; -2); (0;0); (-1; 2) … hay bất phương trình này có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

- Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành 2 nửa mặt phẳng bờ d:

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}>\mathrm{c}$;

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$;

Bờ d gồm các điểm có tọa độ $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$.

- Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$:

+ Vẽ đường thẳng $\mathrm{d}:\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Lấy một điểm ${\mathrm{M}}_0\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ không thuộc d.

+ Tính ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0$ và so sánh với c.

+ Nếu ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0<\mathrm{c}$ thì nửa mặt phẳng bờ d chứa ${\mathrm{M}}_0$ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0>\mathrm{c}$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa ${\mathrm{M}}_0$ là miền nghiệm của bất phương trình.

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$ là miền nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$ bỏ đi đường thẳng $\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$ và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $5\mathrm{x}-7\mathrm{y}\le 0$trên mặt phẳng tọa độ:

Bước 1: Vẽ đường thẳng $\mathrm{d}:5\mathrm{x}-7\mathrm{y}=0$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Lấy điểm ${\mathrm{M}}_0\left(0;1\right)$ không thuộc d và thay x = 0 và y = 1 vào biểu thức $5\mathrm{x}-7\mathrm{y}$ ta được $5.0-7.1=-7<0$ là mệnh đề đúng.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm ${\mathrm{M}}_0$ (miền không bị gạch)

3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Cặp số $\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi $\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.

Ví dụ:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+2\mathrm{y}<9\\ \mathrm{y}-2\mathrm{x}>9\end{array}\right.$là một hệ bất phương trình hai ẩn gồm 2 bất phương trình $\mathrm{x}+2\mathrm{y}<9$ và $\mathrm{y}-2\mathrm{x}>9$.

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2<5\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}>4\end{array}\right.$không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bởi ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2<5$ là bất phương trình bậc hai 2 ẩn.

- Cho hệ bất phương trình hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}>9\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}<9\end{array}\right.$.

Cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y > 9 và cũng là nghiệm của bất phương trình x – y < 9. Nên cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

4. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

+ Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}\le 150\end{array}\right.$:

Bước 1: Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 và gạch bỏ phần miền còn lại.

- Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

- Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.

Bước 2: Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

Bước 3: Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150:

- Vẽ đường thẳng d: x + y = 150.

- Vì 0 + 0 ≤ 150 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm tô màu xanh chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

5. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận xét: Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{by}$, với $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\mathrm{...}{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}$, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Ví dụ: Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}\le 100\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}\le 120\end{array}\right.$và $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=3,5\mathrm{x}+2\mathrm{y}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

- Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

- Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

- Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.

- Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

- Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 100.

+ Vì 0 + 0 ≤ 100 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 100.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa gốc tọa độ O.

- Miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 120:

+ Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y = 120.

+ Vì 2. 0 + 0 ≤ 120 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 120.

Do đó, miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 120 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm tô màu xanh chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với O(0;0), A(0;100), B(20;80) và C(60;0).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tứ giác

F(O) = 0; F(A) = 200; F(B) = 230; F(C) = 210.

Bước 3: So sánh các giá trị thu được ở Bước 2, kết luận giá trị lớn nhất của $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ là 230.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Trắc nghiệm Bài ôn tập cuối chương 2