Cho tan a/3 = 1/ căn 2. Tính sin a, cos a, tan a

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 27 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\tan \frac{a}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Tính sin a, cos a, tan a.

Lời giải:

Ta có $\sin a=2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}=\frac{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}{{\sin }^2\frac{a}{2}+{\cos }^2\frac{a}{2}}$    (do ${\sin }^2\frac{a}{2}+{\cos }^2\frac{a}{2}=1$ )

$=\frac{2\tan \frac{a}{2}}{{\tan }^2\frac{a}{2}+1}=\frac{2.\frac{1}{\sqrt{2}}}{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+1}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.    

$\cos a={\cos }^2\frac{a}{2}-{\sin }^2\frac{a}{2}=\frac{{\cos }^2\frac{a}{2}-{\sin }^2\frac{a}{2}}{{\sin }^2\frac{a}{2}+{\cos }^2\frac{a}{2}}$$=\frac{1-{\tan }^2\frac{a}{2}}{{\tan }^2\frac{a}{2}+1}=\frac{1-{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+1}=\frac{1}{3}$.

$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2}$.