Bài 11 trang 104 Toán 10 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 Cánh diều Bài tập cuối chương 7

Bài 11 trang 104 Toán 10 Tập 2: Cho tam giác AF₁F₂, trong đó A(0; 4), F₁(– 3; 0), F₂(3; 0).

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AF₁ và AF₂.

b) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác AF₁F₂.

c) Lập phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là F₁, F₂ sao cho (E) đi qua A.

Lời giải

a) +) $\overrightarrow{A{F}_1}=\left(-3;-4\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AF₁.

Suy ra đường thẳng AF₁ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(4;-3\right)$.

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng AF₁ là:

4(x – 0) – 3(y – 4) = 0 hay 4x – 3y + 12 = 0.

+) $\overrightarrow{A{F}_2}=\left(3;-4\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AF₂.

Suy ra đường thẳng AF₂ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(4;3\right)$.

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng AF₂ là:

4(x – 0) + 3(y – 4) = 0 hay 4x + 3y – 12 = 0.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AF₁F₂ chính là đường tròn đi qua 3 điểm A, F₁, F₂.

Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b).

Ta có IA = IF₁ = IF₂ ⇔ IA² = $I{F}_1^2$= $I{F}_2^2$ .

Vì IA² = $I{F}_1^2$, $I{F}_1^2$ = $I{F}_2^2$ nên

$\left\{\begin{array}{l}{\left(0-a\right)}^2+{\left(4-b\right)}^2={\left(-3-a\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2\\ {\left(-3-a\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2={\left(3-a\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2-8b+16=a^2+6a+9+b^2\\ a^2+6a+9+b^2=a^2-6a+9+b^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}6a+8b=7\\ 12a=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=\frac{7}{8}\end{array}\right.$

Đường tròn tâm $I\left(0;\frac{7}{8}\right)$ có bán kính

R = IA = $\sqrt{{\left(0-a\right)}^2+{\left(4-b\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(4-\frac{7}{8}\right)}^2}=\frac{25}{8}$.

Phương trình đường tròn (C) là ${\left(x-0\right)}^2+{\left(y-\frac{7}{8}\right)}^2={\left(\frac{25}{8}\right)}^2$.

Vậy phương trình đường tròn (C) là $x^2+{\left(y-\frac{7}{8}\right)}^2=\frac{625}{64}$.

c) Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$.

Elip (E) đi qua điểm A(0; 4) nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{4^2}{b^2}=1\iff b^2=4^2\Rightarrow b=4\left(dob>0\right)$.

Elip (E) có hai tiêu điểm là F₁(– 3; 0), F₂(3; 0) nên c = 3.

Ta có: a² – b² = c² 

Suy ra a² – 4² = 3² 

⇔ a² = 25.

Do đó, a = 5 (do a > 0).

Khi đó a > b > 0, vậy a = 5, b = 4 thỏa mãn.

Vậy phương trình elip (E) cần lập là $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1hay\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 1 trang 103 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(3; 4); B(2; 5). Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là: A. (1; –1). B. (1; 1... 

Bài 2 trang 103 Toán 10 Tập 2: Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $∆$: 2x – 3y + 4 = 0... 

Bài 3 trang 103 Toán 10 Tập 2: Tọa độ tâm I của đường tròn (C): (x + 6)² + (y – 12)² = 81 là... 

Bài 4 trang 103 Toán 10 Tập 2: Khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến đường thẳng $∆$: 3x + 4y + 13 = 0 bằng: A. 1 B. 2... 

Bài 5 trang 103 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác MNP có M(2; 1), N(– 1; 3), P(4; 2). a) Tìm tọa độ của các vectơ... 

Bài 6 trang 103 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: a) d đi qua điểm A(– 3; 2) và có một vectơ pháp tuyến... 

Bài 7 trang 103 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau: a) (C) có tâm I(– 4; 2) và bán kính R = 3... 

Bài 8 trang 104 Toán 10 Tập 2: Quan sát Hình 64 và thực hiện các hoạt động sau: a) Lập phương trình đường thẳng d; b) Lập phương trình đường tròn... 

Bài 9 trang 104 Toán 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng: $∆$₁: $\sqrt{3}$x+y-4=0, $∆$₂: x+ $\sqrt{3}$y - $2\sqrt{3}$=0. a) Tìm tọa độ giao điểm... 

Bài 10 trang 104 Toán 10 Tập 2: Cho biết mỗi đường conic có phương trình dưới đây là đường conic dạng nào (elip, hypebol, parabol) và tìm tọa độ... 

Bài 11 trang 104 Toán 10 Tập 2: Cho tam giác AF₁F₂, trong đó A(0; 4), F₁(– 3; 0), F₂(3; 0). a) Lập phương trình tổng quát... 

Bài 12 trang 104 Toán 10 Tập 2: Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu sân bay A có hệ trục toạ độ Oxy (Hình 65), trong đó đơn vị trên mỗi trục... 

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Chủ đề 2: Xây dựng mô hình hàm số bậc nhất, bậc hai biểu diễn số liệu dạng bảng

Bài 1: Mệnh đề toán học

Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

Bài tập cuối chương 1 trang 19

Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn