Cho tam giác T1 có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác T2 đồng dạng với tam giác T1

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3

Bài 43 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác T₁ có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác T₂ đồng dạng với tam giác T₁, tam giác T₃ đồng dạng với tam giác T₂, ..., tam giác T_n đồng dạng với tam giác T_{n – 1} với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}\left(k>1\right)$ . Khi n tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo k.

Lời giải:

Gọi diện tích các tam giác T₁; T₂; ...; T_{­n – 1}; T_n lần lượt là S₁; S₂; ...; S_{n – 1}; S_n.

Vì tam giác T_n đồng dạng với tam giác T_{n – 1} với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}$  nên diện tích tam giác T_n bằng $\frac{1}{k^2}$  diện tích tam giác T_{n – 1} hay $S_n=\frac{1}{k^2}{S}_{n-1}$ .

Vì k > 1 nên $\frac{1}{k^2}<1$ . Vậy S₁; S₂; ...; S_{n – 1}; S_n; ... lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu S₁ = 1 và công bội $q=\frac{1}{k^2}$ .

Khi đó, tổng diện tích của tất cả các tam giác nếu n tiến tới vô cùng là:

S = S₁ + S₂ + ... + S_{n – 1} + S_n + ... = $\frac{1}{1-\frac{1}{k^2}}=\frac{k^2}{k^2-1}$ .