Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 74 trang 90 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh BI = IK = KE.

Lời giải

 

Xét tam giác ABC có BD và AM là các đường trung tuyến, BD cắt AM tại I.

Suy ra I là trọng tâm của tam giác ABC.

Nên BI = $\frac{2}{3}$BD (1)

Xét tam giác AEC có ED và AN là các đường trung tuyến, ED cắt AN tại K.

Suy ra K là trọng tâm của tam giác AEC.

Nên $EK=\frac{2}{3}ED$ (2)

Mặt khác BD = DE, DB + DE = BE

Nên BD = DE = $\frac{1}{2}$BE (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

BI = EK = $\frac{2}{3}$BD = $\frac{2}{3}.\frac{1}{2}$BE = $\frac{1}{3}$BE.

Ta lại có: BI + IK + KE = BE.

Suy ra $\frac{1}{3}$BE + IK + $\frac{1}{3}$BE = BE

Suy ra IK = $\frac{1}{3}$BE.

Do đó BI = IK = EK (cùng bằng $\frac{1}{3}$BE).

Vậy BI = IK = EK.