Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5

Giải SBT Toán 10 Cánh diều Bài ôn tập chương 4

Bài 76 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, $\widehat{BAC}=120°$. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ và chứng minh AM ⊥ BD.

Lời giải:

Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.c\text{os}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \\ =\mathrm{4.5.}c\text{os120}°=-10 \end{gathered}$$

Ta lại có: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

Và $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

⇒$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$$.\left(-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}\right)$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}{\overrightarrow{AC}}^2$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{2}{.4}^2+\frac{1}{5}(-10)$$-\frac{1}{2}(-10)+\frac{1}{5}{.5}^2=0$

Suy ra AM vuông góc BD.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-10$ và AM vuông góc BD.