Sách bài tập Toán 10 Bài 5 (Cánh diều): Phương trình đường tròn

Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Phương trình đường tròn - Cánh diều

Giải SBT Toán 10 trang 88 Tập 2

Bài 47 trang 88 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây không là phương trình đường tròn?

A. $x^2+y^2=4$ ;

B. $x^2+y^2+2x-1=0$ ;

C. $2x^2+3y^2+2x+3y=9$ ;

D. $x^2+y^2+4y+3=0$ .

Lời giải:

Câu A: $x^2+y^2=4$  là phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 2.

Câu B: $x^2+y^2+2x-1=0\iff {\left(x+1\right)}^2+y^2=2$  là phương trình đường tròn có tâm (-1; 0) bán kính R = $\sqrt{2}$ .

Câu C: không thể biến đổi về dạng của phương trình đường tròn.

Câu D: $x^2+y^2+4y+3=0\iff x^2+{\left(y+2\right)}^2=1$  là phương trình đường tròn có tâm (0; -2) và bán kính R = 1.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 48 trang 88 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $\left(C\right):{\left(x+8\right)}^2+{\left(y-10\right)}^2=36$ . Tọa độ tâm I của (C) là:

A. (8; - 10);

B. (- 8; 10);

C. (- 10; 8);

D. (10; - 8).

Lời giải:

Dễ dàng ta thấy theo dạng phương trình đường tròn ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$  thì tâm I của (C) có tọa độ là I(-8; 10).

Vậy chọn đáp án B.

Bài 49 trang 88 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=4$ . Bán kính của (C) bằng:

A. 4;

B. 16;

C. 2;

D. 1.

Lời giải:

Dễ dàng ta thấy theo dạng phương trình đường tròn ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$  thì bán kính của đường tròn là R =  $\sqrt{4}=2$

Vậy chọn đáp án C.

Giải SBT Toán 10 trang 89 Tập 2

Bài 50 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn tâm I(- 4; 2) bán kính R = 9 có phương trình là:

A. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=81$ ;

B. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=9$ ;

C. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=9$ ;

D. ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=81$ .

Lời giải:

Đường tròn tâm I(- 4; 2) bán kính R = 9 có phương trình là:

 ${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=81$

Vậy chọn đáp án D.

Bài 51 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 3)² + (y – 4)² = 25. Tiếp tuyến tại điểm M(0; 8) thuộc đường tròn có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\overrightarrow{n}=\left(-3;4\right)$ ;

B. $\overrightarrow{n}=\left(3;4\right)$ ;

C. $\overrightarrow{n}=\left(4;-3\right)$ ;

D. $\overrightarrow{n}=\left(4;3\right)$ .

Lời giải:

Đường tròn có tâm I(3; 4).

Tiếp tuyến tại M của đường tròn có vectơ pháp tuyến là vectơ  $\overrightarrow{IM}=\left(-3;4\right)$

Vậy chọn đáp án A.

Bài 52 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $\left(C\right):{\left(x-6\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2=16$ . Hai điểm M, N chuyển động trên đường tròn (C). Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm M và N bằng:

A. 16;

B. 8;

C. 4;

D. 256.

Lời giải:

Do M, N chuyển động trên đường tròn nên khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm M, N chính bằng đường kính của đường tròn.

Bán kính của đường tròn (C) là: $R=\sqrt{16}=4$ .

Vậy độ dài lớn nhất của MN = 2R = 8. Chọn đáp án B.

Bài 53 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm k sao cho phương trình: x² + y² – 6x + 2ky + 2k + 12 = 0 là phương trình đường tròn.

Lời giải:

Ta biến đổi như sau:

x² + y² – 6x + 2ky + 2k + 12 = 0

⇔ (x – 3)² + (y + k)² = k² – 2k – 3

Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì

 $k^2-2k-3>0\iff \left[\begin{array}{l}k<-1\\ k>3\end{array}\right.$

Vậy k < – 1 hoặc k > 3.

Bài 54 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(- 6; 2) bán kính 7.

b) (C) có tâm I(3; - 7) và đi qua điểm A(4; 1)

c) (C) có tâm I(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng 3x + 4y + 19 = 0.

d) (C) có đường kính AB với A(- 2; 3) và B(0; 1)

e) (C) có tâm I thuộc đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=1-t\end{array}\right.$  và (C) tiếp xúc với hai đường thẳng  ${\Delta }_2:3x+4y-1=\mathrm{0,}{\Delta }_3:3x-4y+2=0$

Lời giải:

a) Phương trình (C) có tâm I(- 6; 2) bán kính 7 là: (x + 6)² + (y – 2)² = 7².

b) Bán kính của đường tròn (C) là: IA  $=\left|\overrightarrow{IA}\right|=\sqrt{{\left(4-3\right)}^2+{\left(1+7\right)}^2}=\sqrt{65}$

Phương trình đường tròn là: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+7\right)}^2=65$ .

c) Bán kính của đường tròn chính bằng khoảng cách từ I đến đường thẳng d: 3x + 4y + 19 = 0.

Suy ra  $R=d\left(I,d\right)=\frac{\left|3.1+4.2+19\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{30}{5}=6$

Phương trình đường tròn là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=36$ .

d) Gọi I là tâm của đường tròn thì IA = R và I là trung điểm của AB

Suy ra I(-1; 2),  $IA=\left|\overrightarrow{IA}\right|=\sqrt{{\left(-1+2\right)}^2+{\left(2-3\right)}^2}=\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn là: ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=2$ .

e) Tâm I thuộc đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=1-t\end{array}\right.$  nên I(1 + t; 1 – t)

Đường tròn có 2 tiếp tuyến nên khoảng cách từ I đến 2 tiếp tuyến bằng nhau và bằng bán kính của đường tròn.

Ta có:  $d\left(I,{\Delta }_2\right)=d\left(I,{\Delta }_3\right)$

 $$\begin{gathered} \iff \frac{\left|3.\left(1+t\right)+4\left(1-t\right)-1\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\left|3\left(1+t\right)-4\left(1-t\right)+2\right|}{\sqrt{3^2+4^2}} \\ \iff \left|t-6\right|=\left|7t+1\right| \\ \iff \left[\begin{array}{l}t-6=7t+1\\ 6-t=7t+1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{-7}{6}\\ t=\frac{5}{8}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Với t = $\frac{5}{8}$  thì I $\left(\frac{13}{8};\frac{3}{8}\right)$  và R = d(I; ∆₂) = $\frac{\left|\frac{5}{8}-6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{43}{40}$ . Khi đó phương trình đường tròn là: ${\left(x-\frac{13}{8}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{8}\right)}^2={\left(\frac{43}{40}\right)}^2$ .

Với t = $\frac{-7}{6}$  thì I $\left(-\frac{1}{6};\frac{13}{8}\right)$  và R = d(I; ∆₂) = $\frac{\left|-\frac{7}{6}-6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{43}{30}$ . Khi đó phương trình đường tròn là: ${\left(x+\frac{1}{6}\right)}^2+{\left(y-\frac{13}{6}\right)}^2={\left(\frac{43}{30}\right)}^2$ .

Bài 55 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(C\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=4$  trong mỗi trường hợp sau:

a) ∆ tiếp xúc (C) tại điểm có tung độ bằng 3.

b) ∆ vuông góc với đường thẳng 5x – 12y + 1 = 0.

c) ∆ đi qua điểm D(0; 4).

Lời giải:

Đường tròn có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 2.

a) Hoành độ của điểm có tung độ bằng 3 là:

 ${\left(x+2\right)}^2+{\left(3-3\right)}^2=4\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-4\end{array}\right.$

Suy ra ta có 2 điểm M(0; 3) và điểm N(-4; 3).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IM là: $\overrightarrow{IM}=\left(2;0\right)$ .

Phương trình đường thẳng IM: 2(x – 0) = 0 hay x = 0.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IN là: .

Phương trình đường thẳng IN: - 2(x + 4) = 0 hay x + 4 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng là: x = 0 hoặc x + 4 = 0.

b) ∆ vuông góc với đường thẳng 5x – 12y + 1 = 0

nên ∆ có dạng: 12x + 5y + c = 0.

Khoảng cách từ I đến ∆ bằng R nên  

 $\begin{array}{l}\iff \frac{\left|12.\left(-2\right)+5.3+c\right|}{\sqrt{{12}^2+5^2}}=2\\ \iff \left[\begin{array}{l}c=35\\ c=-17\end{array}\right.\end{array}$

Với c = 35 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y + 35 =0

Với c = - 17 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y – 17 =0

c) Gọi H(a ;b) là tiếp điểm.

Do D(0; 4) thuộc  nên DH vuông góc với IH và IH = R = 2.

Ta có: $\overrightarrow{DH}=\left(a;b-4\right)$  và  $\overrightarrow{IH}=\left(a+2;b-3\right)$

⇒ IH =$\left|\overrightarrow{IH}\right|=\sqrt{{\left(a+2\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2}=2$

⇔ a² + 4a + 4 + b² – 6b + 9 = 4

⇔ a² + 4a  + b² – 6b + 9 = 0 (1)

Ta lại có:  $\overrightarrow{DH}.\overrightarrow{IH}=0\iff a\left(a+2\right)+\left(b-4\right)\left(b-3\right)=0$

⇔ a² + 2a + b² – 7b + 12 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:$\left\{\begin{array}{l}{a}^2+4a +b^2–6b+\text{ 9 }=0\\ a^2+2a+b^2–7b+12=0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}2a +b=33\\ a^2+2a+b^2–7b+12=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=3-\text{2}a \\ a^2+2a+{\left(3-\text{2}a\right)}^2–7\left(3-\text{2}a\right)+12=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=3-\text{2}a \\ a^2+2a+9-12a+4a^2–21+14a+12=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=3-\text{2}a \\ 5a^2+4a=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a=0;b=3\\ a=-\frac{4}{5};b=\frac{23}{5}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Với a = 0, b = 3 thì H(0; 3)

Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(2;0\right)$

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2(x – 0) = 0 ⇔ x = 0.

Với $a=-\frac{4}{5};b=\frac{23}{5}$

Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(\frac{6}{5};\frac{8}{5}\right)=\frac{2}{5}\left(3;4\right)$

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 3(x – 0) + 4(y – 4) = 0 ⇔ 3x + 4y – 16 = 0.

Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu là x = 0 hoặc 3x + 4y – 16 = 0.

Bài 56 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $\left(C\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=25$  và điểm A(- 1; 3)

a) Xác định vị trí tương đối của điểm A đối với đường tròn (C).

b) Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt đường tròn tại M và N. Viết phương trình đường thẳng d sao cho MN ngắn nhất.

Lời giải:

a) Đường tròn (C) có tâm I(-2; 4) và bán kính R = $\sqrt{25}$  = 5.

Ta có: $IA=\left|\overrightarrow{IA}\right|=\sqrt{{\left(-2+1\right)}^2+{\left(4-3\right)}^2}=\sqrt{2}$  < 5

Do đó A nằm trong đường tròn (C).

b) Dây cung MN ngắn nhất khi khoảng cách từ tâm I đến dây cung là lớn nhất

Do d đi qua A cố định nên khi d thay đổi thì khoảng cách lớn nhất từ I đến d chính bằng IA.

Hay IA vuông góc với d.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d:  $\overrightarrow{IA}=\left(1;-1\right)$

Phương trình đường thẳng d: (x + 1) – (y – 3) = 0 ⇔ x – y + 4 = 0.

Giải SBT Toán 10 trang 90 Tập 2

Bài 57 trang 90 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: ${\Delta }_1:x+y+1=\mathrm{0,}{\Delta }_2:3x+4y+20=0;{\Delta }_3:2x-y+50=0$ và đường tròn $\left(C\right):{\left(x+3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=9$ . Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng đã cho đối với đường tròn (C).

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(-3; 1) và bán kính R = 3.

Ta có: $d\left(I,{\Delta }_1\right)=\frac{\left|-3+1+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}<3$ , suy ra ${\Delta }_1$  cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

$d\left(I,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|3.\left(-3\right)+4.1+20\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3=R$, suy ra ${\Delta }_2$  tiếp xúc với đường tròn.

$d\left(I,{\Delta }_3\right)=\frac{\left|2.\left(-3\right)-1+50\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{43}{\sqrt{5}}>3$, suy ra ${\Delta }_3$  không có điểm chung với đường tròn.

Bài 58 trang 90 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) và đường thẳng ∆: 3x + 4y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn (C), biết (C) có tâm M và đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm N, P thỏa mãn tam giác MNP đều.

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của M lên

Suy ra MH là khoảng cách từ M đến  

MH =  $\frac{\left|3.1+4.1+3\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$

Xét tam giác MNH vuông tại H có:

MN = $\frac{MH}{\sin {60}^o}=\frac{4}{\sqrt{3}}$

Mà R = MN =  $\frac{4}{\sqrt{3}}$

Phương trình đường tròn là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=\frac{16}{3}$ .

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 6: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7