Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Đường trung bình của tam giác

Bài 16 trang 65 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:

a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;

b) AM là đường trung trực của EF.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC có M là trung điểm của BC và ME // AC nên E là trung điểm của AB.

Tương tự, do M là trung điểm của BC và MF // AB nên F là trung điểm của AC.

Do đó, EF là đường trung bình của tam giác ABC.

b) Do E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Nên ta có $AE=\frac{AB}{2},AF=\frac{AC}{2}$ và AB = AC (do ∆ABC cân tại A) suy ra AE = AF

Do đó A nằm trên đường trung trực của EF (1)

Lại có ME, MF là các đường trung bình của tam giác ABC nên $ME=\frac{AC}{2},MF=\frac{AB}{2}$

Mà AB = AC nên ME = MF

Do đó M nằm trên đường trung trực của EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF.