Cho tam giác ABC (AB < AC). Trên tia phân giác của góc A, lấy điểm E nằm trong tam giác ABC

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 79 trang 92 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC (AB < AC). Trên tia phân giác của góc A, lấy điểm E nằm trong tam giác ABC sao cho E cách đều hai cạnh AB, BC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Điểm E không nằm trên tia phân giác của góc B.

b) $\widehat{EBC}=\widehat{ECB}$.

c) Điểm E cách đều AB, BC, CA.

d) Điểm E nằm trên tia phân giác của góc C.

Lời giải

 

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của E trên BC, AB, AC.

Khi đó EM ⊥ BC, EN ⊥ AB, EP ⊥ AC và EN = EM.

• Xét ∆BNE và ∆BME có:

$\widehat{\text{BNE}}=\widehat{BME}\left(=90°\right)$,

EN = EM (giả thiết),

BE là cạnh chung

Do đó ∆BNE = ∆BME (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\text{NBE}}=\widehat{MBE}$ (hai góc tương ứng)

Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ABC.

Do đó phát biểu a là sai.

• Vì AF là tia phân giác của góc BAC nên $\widehat{\text{BAE}}=\widehat{CAE}$

Xét $∆$ANE và $∆$APE có:

$\widehat{\text{ANE}}=\widehat{APE}\left(=90°\right)$,

AE là cạnh chung,

$\widehat{\text{NAE}}=\widehat{PAE}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆ANE = ∆APE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra EN = EP (hai cạnh tương ứng).

Mà EN = EM (giả thiết)

Nên EM = EN = EP hay điểm E cách đều ba cạnh AB, BC, CA.

Do đó phát biểu c là đúng.

• Xét hai ∆CPE và ∆CME có:

$\widehat{CPE}=\widehat{CME}\left(=90°\right)$,

EP = EM (chứng mình trên),

CE là cạnh chung

Do đó ∆CPE = ∆CME (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\text{PCE}}=\widehat{MCE}$ (hai góc tương ứng).

Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ACB.

Do đó phát biểu d là đúng.

• Do AB < AC nên $\widehat{ACB}<\widehat{ABC}$ (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Khi đó $\widehat{EBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}<\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\widehat{ECB}.$ 

Do đó phát biểu b là sai.

Vậy a, b là phát biểu sai; c, d là phát biểu đúng.