Cho hai đường thẳng song song a, b và một đường thẳng c (c cắt a tại E, c cắt b tại F). Hai tia phân giác của các góc aEF và bFE

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 83 trang 93 SBT Toán 7 Tập 2: Cho hai đường thẳng song song a, b và một đường thẳng c (c cắt a tại E, c cắt b tại F). Hai tia phân giác của các góc aEF và bFE cắt nhau tại I. Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của I trên các đường thẳng a và b (Hình 52). 

 

Chứng minh:

a) Tam giác EIF là tam giác vuông;

b) IA = IB.

Lời giải

a) Vì EI là tia phân giác của góc aEF nên $\widehat{AEI}=\widehat{IEF}=\frac{1}{2}\widehat{AEF}$.

Vì FI là tia phân giác của góc bFE nên $\widehat{BFI}=\widehat{IFE}=\frac{1}{2}\widehat{BFE}$.

Vì a // b nên $\widehat{aEF}+\widehat{bFE}=180°$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra $\widehat{IEF}+\widehat{IFE}=\frac{\widehat{aEF}+\widehat{bFE}}{2}=\frac{180°}{2}=90°$.

Xét $∆$IEF có $\widehat{\text{IEF}}+\widehat{IFE}+\widehat{EIF}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\widehat{EIF}=180°-\left(\widehat{\text{IEF}}+\widehat{IFE}\right)=180°-90°=90°.$ 

Vậy tam giác EIF là tam giác vuông tại I.

b) Gọi C là hình chiếu của I trên đường thẳng c.

Do EI là tia phân giác của góc AEF nên IA = IC (1)

Do FI là tia phân giác của góc EFB nên IC = IB (2)

Từ (1) và (2) ta có IA = IB.

Vậy IA = IB.