Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và tam giác SAB đều

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 4 trang 132

Bài 4 trang 133 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và tam giác SAB đều. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho BM = x (0 < x < a), mặt phẳng (α) đi qua M, song song với hai đường thẳng SA và AB.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt của hình chóp.

b) Tính diện tích của hình tạo bởi các đoạn giao tuyến ở câu a theo a và x.

Lời giải:

a) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ MN // AB // CD, N ∈ AD.

Trong mặt phẳng (SAD), kẻ đường thẳng d đi qua S và d // AD. Qua N vẽ đường thẳng song song với SA và cắt d tại O.

Nối NO cắt SD tại P và nối MO cắt SC tại Q.

Khi đó (α) chính là mặt phẳng (OMN).

Suy ra (α) ∩ (ABCD) = MN;

(α) ∩ (SBC) = MQ;

(α) ∩ (SCD) = QP;

(α) ∩ (SAD) = NP.

b) Các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt của hình chóp tạo thành tứ giác MNPQ.

Ta có CD // MN // PQ

Suy ra tứ giác MNPQ là hình thang với MN = AB = a và $\widehat{QMN}=\widehat{SBA}=60°$.

Trong ∆SBC có MQ // SB nên $\frac{MQ}{SB}=\frac{MC}{BC}$ (hệ quả định lí Thalès)

Mà SB = BC nên MQ = MC = a ‒ x.

Trong ∆SCD có PQ // CD nên $\frac{PQ}{CD}=\frac{SQ}{SC}$ (hệ quả định lí Thalès).

Trong ∆SBC có MQ // SB nên $\frac{SQ}{SC}=\frac{BM}{BC}$ (định lí Thalès)

Do đó $\frac{PQ}{CD}=\frac{BM}{BC},$ mà CD = BC nên PQ = BM = x.

Gọi H là chân đường cao kẻ từ Q đến MN.

Ta có: QM // SB, MN // AB nên góc giữa hai đường thẳng QM và MN bằng góc giữa hai đường thẳng SB và AB, hay $\widehat{SBA}=\widehat{QMH}.$

Khi đó QH = $MQ\cdot \sin \widehat{QMH}$ = $MQ\cdot sin60°=\frac{\left(a-x\right)\sqrt{3}}{2}$.

Vậy S_MNPQ = $\frac{1}{2}\cdot QH\cdot \left(MN+PQ\right)$ = $\frac{1}{2}\cdot \frac{\left(a-x\right)\sqrt{3}}{2}\cdot \left(a+x\right)$ = $\frac{\left(a^2-x^2\right)\sqrt{3}}{4}$ (đvdt).