Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Hình chiếu vuông góc của S

Giải SBT Toán 11 Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 2 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm I của cạnh AB. Biết rằng mặt bên (SAB) là tam giác vuông cân tại S. Xác định và tính góc giữa:

a) SA và (ABC);

b) SC và (SAB).

Lời giải:

a)Vì AI là hình chiếu của SA trên (ABC).

Do đó (SA, (ABC)) = (SA, AI).

Vì tam giác SAI vuông cân tại I $\Rightarrow \widehat{SAI}=45°.$

Vậy $(SA,(ABC\left)\right)=(SA,AI)=\widehat{SAI}=45°$ .

b)Ta có tam giác ABC đều nên CI ⊥ AB, $CI=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Ta có:

Mà SC $\cap$ (SAB) = S. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ SI là hình chiếu của SC trên (SAB).

Do đó (SC, (SAB)) = (SC, SI).

Trong tam giác SAB vuông tại S, $SI=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$ .

Trong tam giác SCI vuông tại I, ta có $\tan \widehat{CSI}=\frac{IC}{SI}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{CSI}=60°.$

Vậy $\left(SC,\left(SAB\right)\right)=\widehat{CSI}=60°.$