Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AD, BC lần lượt lấy điểm E, F sao cho AE=CF

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Hình bình hành

Bài 18 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành $ABCD$. Trên cạnh $AD,BC$ lần lượt lấy điểm $E,F$ sao cho $AE=CF$. Trên cạnh $AB,CD$ lần lượt lấy điểm $M,N$ sao cho $BM,DN$. Chứng minh:

a) Tứ giác $EMFN$ là hình bình hành;

b) Bốn đường thẳng $AC,BD,EF,MN$ cùng đi qua một điểm.

Lời giải:

a) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AD=BC$ và $AB=CD$; $\hat{A}=\hat{C}$ và $\widehat{ABC}=\widehat{CDA}$.

Mà $AE=CF$ và $BM=DN$, suy ra $DE=BF$ và $AM=CN$.

$\mathrm{\Delta }AEM=\mathrm{\Delta }CFN$(c.g.c). Suy ra $EM=FN$

$\mathrm{\Delta }BFM=\mathrm{\Delta }DEN$(c.g.c). Suy ra $FM=EN$

Tứ giác EFMN có $EM=FN$ và $FM=EN$ nên $EMFN$ là hình bình hành.

b) Tứ giác $BMDN$ có $BM=DN$ và $BM//DN$ nên $BMDN$ là hình bình hành.

Do $ABCD,EMFN,BMDN$ đều là hình bình hành nên các đường chéo của mỗi hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy $AC,BD,EF,MN$ cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.