Bài tập Toán lớp 11 Học kì 1 có đáp án

• Bài tập Toán 11 Đại số và Giải tích
• Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• Bài tập Hàm số lượng giác
• Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản
• Bài tập Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Bài tập Một số phương trình lượng giác cơ bản
• Chương 2: Tổ hợp - Xác suất mới nhất
• Bài tập Quy tắc đếm
• Bài tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Bài tập Nhị thức Niu - Tơn
• Bài tập Phép thử và biến cố
• Bài tập Xác suất của biến cố
• Bài tập Toán 11 Hình học
• Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
• Bài tập Phép biến hình. Phép tịnh tiến
• Bài tập Phép đối xứng trục
• Bài tập Phép đối xứng tâm
• Bài tập Phép quay
• Bài tập Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
• Bài tập Phép vị tự
• Bài tập Phép đồng dạng
• Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
• Bài tập Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
• Bài tập Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
• Bài tập Đường thẳng song song với mặt phẳng
• Bài tập Hai mặt phẳng song song
• Bài tập Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

• Bài tập Hàm số lượng giác - Toán 11

  I. Bài tập trắc nghiệm

  Bài 1. Hàm số :

  

  có tập xác định là:

  A. R

  B. R\{k2π, k ∈ Z}.

  C. {k2π, k ∈ Z}.

  D. ∅

  Lời giải:
  

  

  Chọn đáp án C

  Bài 2. Hàm số y = sinxcos2x là:

  A. Hàm chẵn.

  B. Hàm không có tính chẵn, lẻ.

  C. Hàm không có tính tuần hoàn.

  D. Hàm lẻ.

  Lời giải:
  

  

  Chọn đáp án D

  Bài 3. Hàm số  thỏa mãn tính chất nào sau đây?

  A. Hàm chẵn.

  B. Hàm không có tính chẵn, lẻ.

  C. Xác định trên R.

  D. Hàm lẻ.

  Lời giải:

  

  Chọn đáp án A

  Bài 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm lẻ?

  A. y = sin2x

  B. y = sin2x.cosx.

  C. y = $\frac{\tan x}{\cos x}$

  D. y = $\frac{cotx}{\sin x}$

  Lời giải:
  

  

  Chọn đáp án C

  Bài 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?

  A. 

  B. y = sinx.cos2x

  C. y = cosx.sin²x

  D. y = cosxsin3x.

  Lời giải:

  Do y = sin²x và y = cosx là hàm chẵn nên hàm số y = cosx. sin²x là hàm chẵn.

  Chọn đáp án C

  Bài 6. Hàm số y = $\frac{\cos x}{\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)}$ có tập xác định là:

  A. R\{$\frac{\pi }{3}$+k2π, k ∈ Z}.

  B. R\{$\frac{\pi }{6}$+kπ, k ∈ Z}.

  C. R\{$\frac{\pi }{6}$+k2π, $\frac{5\pi }{6}$+k2π, k ∈ Z}.

  D. R\{$\frac{\pi }{3}$+k2π, $\frac{2\pi }{3}$+k2π, k ∈ Z}.

  Lời giải:
  

  

  Chọn đáp án D

  Bài 7. Hàm số y = tan$\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}$ có tập xác định là:

  A. R\{$\frac{\pi }{2}$+k2π, k ∈ Z}.

  B. R\{$\frac{\pi }{2}$+kπ, k ∈ Z}.

  C. R\{$\frac{3\pi }{2}$+k2π, k ∈ Z}.

  D. R.

  Lời giải:
  

  

  Chọn đáp án C

  Bài 8. Tập xác định của hàm số y = cot(2x - $\frac{\pi }{3}$) + 2 là:

  A. R\{$\frac{\pi }{6}$+kπ, k ∈ Z}.

  B. R\{$\frac{\pi }{6}$+k2π, k ∈ Z}.

  C. R\{$\frac{5\pi }{12}$+$\frac{k\pi }{2}$, k ∈ Z}.

  D. R\{$\frac{\pi }{6}$+$\frac{k\pi }{2}$, k ∈ Z}.

  Lời giải:
  

  

  Chọn đáp án D

  Bài 9. Hàm số :

  

  có tập xác định là:

  A. R\{kπ, k ∈ Z}.

  B. R\{$\frac{\pi }{2}$+π, k ∈ Z}.

  C. R\{$\frac{\pi }{2}$+k2π, k ∈ Z}.

  D. R\{$\frac{k\pi }{2}$, k ∈ Z}.

  Lời giải:
  

  

  Chọn đáp án C

  Bài 10. Cho hàm số y = $\frac{\sin x}{1+\tan x}$ và k ∈ Z.

  Khoảng nào dưới đây không nằm trong tập xác định của hàm số?

  

  Lời giải:
  

  

  Nên khoảng này không nằm trong tập xác định của hàm số

  II. Bài tập tự luận có lời giải

  Bài 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3- 4sin²xcos²x là:

  Lời giải:

  

  Bài 2: Hàm số y = $\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$ có chu kì là:

  Lời giải:

  Tập xác định của hàm số đã cho là R mà cos²x có chu kì là π nên y= $\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$ cũng có chu kì là π

  Bài 3:Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?

  Lời giải:

  Hàm số sinx có chu kì là 2π, hàm số tanx có chu kì là π

  Vậy hai hàm số y = sinx và y = tan x có chu kì khác nhau.

  Bài 4: Chu kì của hàm số y = 2sin(2x + $\frac{\pi }{3}$) -3cos(2x - $\frac{\pi }{4}$) là:

  Lời giải:

  

  Bài 5: Chu kì của hàm số y = sin²x -2cos³x là:

  Lời giải:

  Chu kì của hàm số y=sin²x là π, chu kì của hàm số y=cos³x là ($\frac{2\pi }{3}$ nên chu kì của hàm số đã cho là 2π

  Bài 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm chẵn và cũng không là hàm lẻ?

  Lời giải:

  Xét phương án B:

  

  Do đó, hàm số đã cho không là hàm chẵn và cũng không phải là hàm lẻ

  Bài 7: Hàm số y = (sinx + cosx)² + cos2x có giá trị lớn nhất là:

  Lời giải:

  Ta có:

  

  Suy ra hàm số có giá trị lớn nhất là 1 + $\sqrt{2}$

  Bài 8: Hàm số y = $\sqrt{3}$sinx – cosx có giá trị nhỏ nhất là:

  Lời giải:

  

  Bài 9: Cho hàm số y = $\frac{\cos x-1}{\cos x+2}$. Mệnh đề nào trong số các mệnh đề sau đây là sai?

  Lời giải:

  

  Bài 10: Hàm số nào sau đây có giá trị lớn nhất bằng 2?

  Lời giải:

  Các hàm số y= tanx- cotx và y= 2tanx không có giá trị lớn nhất, hàm số y= sin(2x-$\frac{\pi }{4}$) có giá trị lớn nhất là 1

  Cũng có thể nhận ngay ra đáp án C vì :

  

  III. Bài tập vận dụng

  Bài 1 Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [-π; $\frac{3\pi }{2}$] để hàm số y = tanx

  a) Nhận giá trị bằng 0

  b) Nhận giá trị bằng 1

  c) Nhận giá trị dương

  d) Nhận giá trị âm.

  Bài 2 Tìm tập xác định của các hàm số:

  

  Bài 3 Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số y = |sinx|.

  Hướng dẫn giải bài 3:

  Ta có 

  Mà sinx < 0 ⇔ x ∈ (π + k2π, 2π + k2π), k ∈ Z nên lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị của hàm số y = sinx trên các khoảng này còn giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = sinx trên các đoạn còn lại ta được đồ thị của hàm số y = IsinxI

  Bài 4 Chứng minh rằng sin2(x + kπ) = sin ²x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin²x

  Bài 5 Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cosx = $\frac{1}{2}$

  Bài 6 Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

  Bài 7 Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn $[-\pi ;\frac{3\pi }{2}]$ để hàm số $y=\tan x$

  a) Nhận giá trị bằng 0.

  b) Nhận giá trị bằng 1.

  c) Nhận giá trị dương.

  d) Nhận giá trị âm.

  Bài 8 Tìm tập xác định của hàm số

  a) $y=\frac{1+\cos x}{\sin x}$.

  b) $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$.

  c) $y=\tan (x-\frac{\pi }{3})$.

  d) $y=\cot (x+\frac{\pi }{6})$.

  Bài 9 Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số y = |sinx|

  Bài 10 Chứng minh rằng sin2(x + kπ) = sin ²x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin²x.

  Bài tập Hai mặt phẳng song song - Toán 11

  I. Bài tập trắc nghiệm

  Bài 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?

  A. nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) // (Q).

  B. nếu hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song.

  C. hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

  D. cho hai mặt phẳng (P) , (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q)

  Lời giải:
  

  Đáp án: D

  Bài 2: Trong các mệnh đề sau, những mệnh đề nào đúng?

  (1) hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

  (2) hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.

  (3) hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phảng thứ ba thì song song với nhau.

  Một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.

  A.(1), (2)      

  B. (1), (2), (3)

  C. (2), (4)      

  D. (1), (2), (3), (4)

  Lời giải:
  

  Đáp án: C

  Bài 3: Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)

  (1) nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhay thì mọi đường thẳng nằm trên (P) đều song song với mọi đường thẳng nằm trên (Q).

  (2) nếu mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

  Trong hai phát biểu trên.

  A. chỉ có một phát biểu đúng.

  B. chỉ có phát biểu (2) đúng.

  C. cả hai phát biểu đều đúng.

  C. cả hai phát biểu đều sai.

  Lời giải:
  

  Đáp án: B

  Bài 4: Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó.

  A. a và b có một điểm chúng duy nhất

  B. a và b không có điểm chung nào

  C. a và b trùng nhau

  D. a và b song song hoặc trùng nhau

  Lời giải:
  

  Đáp án: B

  Bài 5: Khẳng định nào sau đây là sai.

  A. nếu a // b, a ⊄ (P), b ⊂ (P) thì a // (P)

  B. nếu ⊂ (P), (P) // (Q) thì a// (Q)

  C. nếu 3 đường thẳng chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thẳng đó song song với nhau.

  D. a // b, a // (P). b ⊄ (P) ⇒ b//(P)

  Lời giải:
  

  Đáp án: C

  Bài 6: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. gọi M là trung điểm của AB.

  (I) (ADF) // (BCE)      

  (II) (MOO’) // (ADF)

  (III) (MOO’) // (BCE)     

  (IV) (AEC) // (BDF)

  Khẳng định nào sau đây là đúng

  A.chỉ có (1) đúng      

  B. chỉ có (1) và (2) đúng

  C. (I), (II), (III) đúng      

  D. chỉ có (1) và (IV) đúng

  Lời giải:
  

  Đáp án: C

  Bài 7: Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) //(SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là:   

  A. tam giác cân tại M      

  B. tam giác đều

  C. hình bình hành      

  D. hình thoi

  Lời giải:
  

  Đáp án: A

  Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. Gọi Bx, Cy, Dz là các đường thẳng đi qua B, C, D và song song với nhau. Mặt phẳng (∝) đi qua A và cắt Bx, Cy, Dz lần lượt tại A’, C’, D’ với BB’ = 2, DD’ = 4. Khi đó CC’ bằng:

  A. 3      

  B. 4      

  C. 5      

  D. 6

  Lời giải:
  

  Đáp án: D

  Bài 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. gọi I. J. K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)

  A. (AA’B’)      

  B. (AA’C’)

  C. (A’B’C’)      

  D. (BB’C’)

  Lời giải:
  

  Đáp án: D

  Bài 10: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chưa b và song song với a. Phát biểu nào sau đây là đúng?

  A. (P) và (Q) cắt nhau

  B. (P) và (Q) song song với nhau

  C. (P) và (Q) trùng nhau

  D. (P) và (Q) cắt nhau hoặc song song với nhau.

  Lời giải:
  

  Đáp án: B

  II. Bài tập tự luận có lời giải

  Bài 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

  A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

  B. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.

  C. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.

  D. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C nằm ngoài (P) lúc đó, nếu 3 đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mặt phẳng (P) thì ba giao điểm đó thẳng hàng.

  Lời giải:
  

  B sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau. Đáp án B.

  Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Qua các đỉnh A, B, C, D ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Hỏi A’B’C’D’ là hình gì?

  Lời giải:

  Vận dụng kết quả giao tuyến của một mặt phẳng với hai mặt phẳng song song là hai đường thẳng song song, ta có tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành. Đáp án D.

  Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)?

  Lời giải:

  Gọi M là trung điểm của AC, ta có:

  

  Lại có IK // BB’. Vậy (IJK) //(BB’C’). Đáp án C.

  Bài 4: Cho hai mặt phẳng (∝), (β) cắt nhau và cùng song song với đường thẳng d. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  A. giao tuyến của (∝), (β) trùng với d

  B. giao tuyến của (∝), (β) song song hoặc trùng với d

  C. giao tuyến của (∝), (β) song song với d

  D. giao tuyến của (∝), (β) cắt d

  Lời giải:
  

  Đáp án: C

  Bài 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?

  A. nếu (∝) //(β) và d1 ⊂(∝);d2 ⊂(β) thì d1// d2

  B. nếu d1 // (∝) và d2 // (β) thì d1 // d2

  C. nếu (∝) //(β) và d1 // (∝), thì d1 // (β) hoặc d1 ⊂ (β)

  D. nếu d1 // d2 và d1⊂(∝),d2⊂(β) thì (∝) //(β)

  Lời giải:  Phương án A, B sai vì d1, d2 có thể chéo nhau. Phương án D sai vì (∝) và (β) có thể cắt nhau.

  Bài 6: Cho hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q).

  Lời giải:

  Gọi M là giao điểm của AC và BD, N là giao điểm AC’ và B’D’. ta có MN là đường trung bình của tam giác ACC’ và cũng là đường trung bình hình thang BB’’D’’D nên CC’ = 2MN = BB’ + DD’ = 6.

  Bài 7 Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (α). Trên a, b và c lần lượt lấy ba điểm A’, B’ và C’ tùy ý.

  a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’).

  b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.

  Lời giải:

  

  a) Giả sử (A’B’C’) ∩ d = D’

  ⇒ (A’B’C’) ∩ (C’CD) = C’D’.

  + AA’ // CC’ ⊂ (C’CD)

  ⇒ AA’ // (C’CD).

  AB // CD ⊂ (CC’D)

  ⇒ AB // (CC’D)

  (AA’B’B) có:

   ⇒ (AA’B’B) // (C’CD).

  Mà (A’B’C’) ∩ (AA’B’B) = A’B’

  ⇒ (A’B’C’) cắt (C’CD) và giao tuyến song song với A’B’

  ⇒ C’D’ // A’B’.

  b) Chứng minh tương tự phần a ta có B’C’ // A’D’.

  Tứ giác A’B’C’D’ có: B’C’ // A’D’ và C’D’ // A’B’

  ⇒ A’B’C’D’ là hình bình hành.

  Bài 8 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.

  a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.

  b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M.

  c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).

  d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.

  Lời giải:

  

  a) Do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ta có: BCC’B’ là hình bình hành

  Xét tứ giác BCC’B’ có M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ nên MM’ là đường trung bình

  

  Lại có: AA’// BB’ và AA’= BB’ ( tính chất hình lăng trụ) (2)

  Từ (1) và (2) suy ra: MM’// AA’ và MM’ = AA’

  => Tứ giác AMM’A’ là hình bình hành

  b) Trong (AMM’A’) gọi O = A’M ∩ AM’, ta có :

  Ta có : O ∈ AM’ ⊂ (AB’C’)

  ⇒ O = A’M ∩ (AB’C’).

  c)

  

  Gọi K = AB’ ∩ BA’, ta có :

  K ∈ AB’ ⊂ (AB’C’)

  K ∈ BA’ ⊂ (BA’C’)

  ⇒ K ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)

  Dễ dàng nhận thấy C’ ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)

  ⇒ (AB’C’) ∩ (BA’C’) = KC’.

  Vậy d cần tìm là đường thẳng KC’

  d) Trong mp(AB’C’), gọi C’K ∩ AM’ = G.

  Ta có: G ∈ AM’ ⊂ (AM’M)

  G ∈ C’K.

  ⇒ G = (AM’M) ∩ C’K.

  + K = AB’ ∩ A’B là hai đường chéo của hình bình hành ABB’A’

  ⇒ K là trung điểm AB’.

  ΔAB’C’ có G là giao điểm của 2 trung tuyến AM’ và C’K

  ⇒ G là trọng tâm ΔAB’C’.

  Bài 9 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

  a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.

  b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G₁ và G₂ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

  c) Chứng minh G₁ và G₂ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

  d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.

  Lời giải:

  

  a) + A’D’ // BC và A’D’ = BC

  ⇒ A’D’CB là hình bình hành

  ⇒ A’B // D’C, mà D’C ⊂ (B’D’C) ⇒ A’B // (B’D’C) (1)

  + BB’ // DD’ và BB’ = DD’

  ⇒ BDD’B’ là hình bình hành

  ⇒ BD // B’D’, mà B’D’ ⊂ (B’D’C) ⇒ BD // (B’D’C) (2)

  A’B ⊂ (BDA’) và BD ⊂ (BDA’); A’B ∩ BD = B (3)

  Từ (1), (2), (3) suy ra : (BDA’) // (B’D’C).

  b) Gọi O = AC ∩ BD

  + Ta có: O ∈ AC ⊂ (AA’C’C)

  ⇒ A’O ⊂ (AA’C’C).

  Trong (AA’C’C), gọi A’O ∩ AC’ = G₁.

  G₁ ∈ A’O ⊂ (A’BD)

  ⇒ G₁ ∈ AC’ ∩ (BDA’).

  + Trong hình bình hành AA’C’C gọi I = A’C ∩ AC’

  ⇒ A’I = IC.

  ⇒ AI là trung tuyến của ΔA’AC

  ⇒ G₁ = A’O ∩ AC’ là giao của hai trung tuyến AI và A’O của ΔA’AC

  ⇒ G₁ là trọng tâm ΔA’AC

  ⇒ A’G₁ = 2.$\frac{A\text{'}O}{3}$

  ⇒ G₁ cũng là trọng tâm ΔA’BD.

  Vậy AC' đi qua trọng tâm G₁ của ΔA’BD.

  Chứng minh tương tự đối với điểm G₂.

  c) *Vì G₁ là trọng tâm của ΔAA’C nên $\frac{A{G}_1}{AI}=\frac{2}{3}$ .

  Vì I là trung điểm của AC’ nên AI = $\frac{1}{2}$.AC’

  Từ các kết quả này, ta có : AG₁ = $\frac{1}{3}$.AC’

  *Chứng minh tương tự ta có : C’G₂ = $\frac{1}{3}$.AC’

  Suy ra : AG₁ = G₁G₂ = G₂C’ = $\frac{1}{3}$.AC’.

  d) (A’IO) chính là mp (AA’C’C) nên thiết diện cần tìm chính là hình bình hành AA’C’C.

  Bài 10 Cho hình chóp S. ABCD. Gọi A₁ là trung điểm của cạnh SA và A₂ là trung điểm của đoạn AA₁. Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua A₁, A₂. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B₁, C₁, D₁ . Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B₂, C₂, D₂. Chứng minh:

  a) B₁, C₁, D₁ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.

  b) B₁B₂ = B₂B, C₁C₂ = C₂C, D₁D₂ = D₂D.

  c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.

  

  Lời giải:

  a) Chứng minh B₁, C₁, D₁ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD

  Ta có:

  

  ⇒A₁B₁ là đường trung bình của tam giác SAB.

  ⇒ B₁ là trung điểm của SB (đpcm)

  *Chứng minh tương tự ta cũng được:

  • C₁ là trung điểm của SC.

  • D₁ là trung điểm của SD.

  b) Chứng minh B₁B₂ = B₂B, C₁C₂ = C₂C, D₁D₂ = D₂D.

  

  ⇒A₂B₂ là đường trung bình của hình thang A₁B₁BA

  ⇒ B₂ là trung điểm của B₁B

  ⇒ B₁B₂ = B₂B (đpcm)

  *Chứng minh tương tự ta cũng được:

  • C₂ là trung điểm của C₁C₂ ⇒ C₁C₂ = C₂C

  • D₂ là trung điểm của D₁D₂ ⇒ D₁D₂ = D₂D.

  c) Các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD, đó là : A₁B₁C₁D₁.ABCD và A₂B₂C₂D₂.ABCD

  III. Bài tập vận dụng

  Bài 1 Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (α). Trên a, b và c lần lượt lấy ba điểm A’, B’ và C’ tùy ý.

  a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’).

  b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.

  Bài 2 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.

  a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.

  b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M.

  c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).

  d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.

  Bài 3 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

  a) chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.

  b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G₁ và G₂ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

  c) Chứng minh G₁ và G₂ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

  d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và ∆A’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.

  Bài 4 Cho hình chóp S. ABCD. Gọi A₁ là trung điểm của cạnh SA và A₂ là trung điểm của đoạn AA₁. Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua A₁, A₂. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B₁, C₁, D₁ . Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B₂, C₂, D₂. Chứng minh:

  a) B₁, C₁, D₁ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.

  b) B₁B₂ = B₂B, C₁C₂ = C₂C, D₁D₂ = D₂D.

  c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.

  Bài 5 Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chưa b và song song với a. Phát biểu nào sau đây là đúng?

  A. (P) và (Q) cắt nhau

  B. (P) và (Q) song song với nhau

  C. (P) và (Q) trùng nhau

  D. (P) và (Q) cắt nhau hoặc song song với nhau.

  Bài 6 Cho hình bình hành ABCD. Qua các đỉnh A, B, C, D ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Hỏi A’B’C’D’ là hình gì?

  Bài 7 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)?

  Bài 8 Trong các mệnh đề sau, những mệnh đề nào đúng?

  (1) hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

  (2) hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.

  (3) hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phảng thứ ba thì song song với nhau.

  (4)Một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.

  Bài 9 Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) //(SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là?

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng học kì 1

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 11

Thời gian làm bài: 45 phút

(Đề số 1)