Hệ thống kiến thức Toán lớp 11 Giữa học kì 2

Hệ thống kiến thức Toán lớp 11 Giữa học kì 2

Đề thi Toán lớp 11 Giữa học kì 2 năm 2022 - 2023 có đáp án

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng giữa học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 11

Thời gian làm bài: 45 phút

Đề thi Toán lớp 11 Giữa học kì 2 năm 2022 - 2023 có đáp án Đề số 1

I. Trắc nghiệm (7,5 điểm ) 

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=1$

B. $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0,q>1$

C. $\underset{n\to +\infty }{\lim }{1}^n=0$

D. $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0,\left|q\right|<1$

Lời giải

Dựa vào một số giới hạn đặc biệt ta có:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$; $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0;\left|q\right|<1$ ta có khẳng định D là đúng.

Chọn D.

Câu 2. Cho dãy số (u_n) xác định bởi $u_n=\frac{2^n.\sin n}{9^n}$. Tính lim u_n

A. 0

B.  $\frac{2}{9}$

C. $+\infty$

D. $\frac{9}{2}$

Lời giải

Theo công thức giới hạn đặc biệt, ta có: $\left|\frac{2^{\mathrm{n}}.\mathrm{sinn}}{9^{\mathrm{n}}}\right| \le \frac{2^n}{9^n} = {\left(\frac{2}{9}\right)}^n$

Mà $\lim {\left(\frac{2}{9}\right)}^n=0$ nên lim u_n=0

Chọn A

Câu 3. Giá trị của $A=\lim \frac{2n^2+3n+1}{3n^2-n+2}$ bằng:

A. $+\infty$

B. $-\infty$

C. $\frac{2}{3}$

D. 1

Lời giải

Chia cả tử và mẫu cho n² - mũ cao nhất của phân thức ta được:

$A=\lim \frac{2n^2+3n+1}{3n^2-n+2}=\lim \frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{3-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}=\frac{2}{3}$

Chọn C.

Câu 4. Giá trị của bằng:

A. $+\infty$

B. $+\infty$

C. 16

D. 1

Lời giải

Ta có: $C=\lim \frac{{\left(2n^2+1\right)}^4{\left(n+2\right)}^9}{n^{17}+1}=\lim \frac{n^8{(2+\frac{1}{n^2})}^4.n^9{(1+\frac{2}{n})}^9}{n^{17}(1+\frac{1}{n^{17}})}=\lim \frac{{(2+\frac{1}{n^2})}^4.{(1+\frac{2}{n})}^9}{1+\frac{1}{n^{17}}}$

Suy ra $C= \frac{{(2+ 0)}^4.{(1+0)}^9}{1+0}=16$

Chọn C.

Câu 5. Tính $\lim \left(\sqrt{n^2+7}-\sqrt{n^2+5}\right)$

A. 0

B. $\sqrt{7}-\sqrt{5}$

C. $+\infty$

D. 2

Lời giải

$\lim \left(\sqrt{n^2+7}-\sqrt{n^2+5}\right)=\lim \frac{n^2+7-n^2-5}{\sqrt{n^2+7}+\sqrt{n^2+5}}=\lim \frac{2}{\sqrt{n^2+7}+\sqrt{n^2+5}}=0$

Chọn A.

Câu 6. Viết số thập phân $m=3,030303$… (chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ

A. $\frac{10}{3}$

B. $\frac{100}{33}$

C. $\frac{99}{31}$

D. $\frac{101}{33}$

Lời giải

$m=3+\frac{3}{100}+\frac{3}{10000}+\mathrm{...}+\frac{3}{{100}^n}=3+\frac{\frac{3}{100}}{1-\frac{1}{100}}=3+\frac{3}{99}=3+\frac{1}{33}=\frac{100}{33}$

Trong đó $\frac{3}{100}; \frac{3}{10000}; \mathrm{...};\frac{3}{{100}^n}; \mathrm{...}$ lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạn đầu $u_1= \frac{3}{100}; q=\frac{1}{100}$

Chọn B

Câu 7. Cho cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S= 6 và tổng hai số hạng đầu $u_1+ u_2=4\frac{1}{2}$. Tìm công bội của cấp số nhân đó?

A. $q=\pm \frac{1}{3}$

B. $q=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $q=\pm \frac{1}{2}$

D. Đáp án khác

Lời giải

Theo đầu bài ta có:

$\left\{\begin{array}{l}S=\frac{u_1}{1-q}=6\\ u_1+u_{1}q=4\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=6\left(1-q\right) \left(1\right)\\ u_1\left(1+q\right)=4\frac{1}{2} \left(2\right)\end{array}\right.$

Thay (1) vào (2) ta được: 

$\begin{array}{l}6(1-\mathrm{q}).(1+ \mathrm{q})=\frac{9}{2}\iff (1-\mathrm{q}).(1+\mathrm{q})=\frac{3}{4}\\ \iff 1-{\mathrm{q}}^2=\frac{3}{4}\iff {\mathrm{q}}^2=\frac{1}{4}\iff \mathrm{q}=\pm \frac{1}{2}\end{array}$

Câu 8. Giá trị của $C=\lim \frac{{3.2}^n-3^n}{2^{n+1}+3^{n+1}}$ bằng:

A. $+\infty$

B. $-\infty$

C. $-\frac{1}{3}$

D. 1

Lời giải

Ta có:

 $$\begin{gathered} C=\lim \frac{{3.2}^n-3^n}{2^{n+1}+3^{n+1}} \\ =\lim \frac{3.{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-1}{2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+3} \\ = \frac{3.0-1}{2.0+3}=-\frac{1}{3};\lim {\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0 \end{gathered}$$

Chọn C

Câu 9. Tính giới hạn: $\lim \frac{1+3+5+\mathrm{....}+\left(2n+1\right)}{3n^2+4}$

A. 0

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. 1

Lời giải

Ta có: 1+ 3+ 5 + ... + (2n +1) là tổng n số hạng của 1 cấp số cộng  với số hạng đầu u₁ =1 và công sai d= 2

Do đó, S = 1+ 3+ 5+ ...+(2n+ 1) $=\frac{\mathrm{n}[2.1+(\mathrm{n}-1).2]}{2}={\mathrm{n}}^2$

Suy ra

 $$\begin{gathered} \lim \frac{1+3+5+....+\left(2\mathrm{n}+1\right)}{3{\mathrm{n}}^2+4} \\ =\lim \frac{{\mathrm{n}}^2}{3{\mathrm{n}}^2+4}=\lim \frac{1}{3+\frac{4}{{\mathrm{n}}^2}}=\frac{1}{3}. \end{gathered}$$

Chọn B

Câu 10. Giá trị của $D=\lim \left(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt[3]{n^3+2n^2}\right)$ bằng:

A. $+\infty$

B. $-\infty$

C. $\frac{1}{3}$

D. 1

Lời giải

Ta có:

 $$\begin{gathered} \mathrm{D}=\lim \left(\sqrt{{\mathrm{n}}^2+2\mathrm{n}}-\mathrm{n}\right)-\lim \left(\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+2{\mathrm{n}}^2}-\mathrm{n}\right) \\ =\lim \frac{2\mathrm{n}}{\sqrt{{\mathrm{n}}^2+2\mathrm{n}}+\mathrm{n}}-\lim \frac{2{\mathrm{n}}^2}{\sqrt[3]{{({\mathrm{n}}^3+2{\mathrm{n}}^2)}^2}+\mathrm{n}\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+2{\mathrm{n}}^2}+{\mathrm{n}}^2} \\ =\lim \frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{\mathrm{n}}}+1}-\lim \frac{2}{\sqrt[3]{{(1+\frac{2}{\mathrm{n}})}^2}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{\mathrm{n}}}+1} \\ =\frac{2}{1+\text{}1}-\frac{2}{1+\text{}1+\text{}1}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Câu 11. $\lim \frac{5^n-1}{3^n+1}$ bằng:

A. $+\infty$

B. 1

C. 0

D. $-\infty$

Lời giải

Ta có: $\lim \frac{5^n-1}{3^n+1}=\lim \frac{1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n+{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}$

Nhưng $\lim \left(1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^n\right)=1>0$,

 $lim{\left(\frac{3}{5}\right)}^n + lim{\left(\frac{1}{5}\right)}^n = 0$

và ${\left(\frac{3}{5}\right)}^n+{\left(\frac{1}{5}\right)}^n>0 \forall n\in N^{*}$

Nên $\lim \frac{5^n-1}{3^n+1}=+\infty$

Chọn A

Câu 12. Tính $\underset{x\mapsto -1}{lim} \frac{x^3+ 2x^2 + 1}{2x^5 + 1}$

A. - 2

B. $-\frac{ 1}{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 2

Lời giải

Chọn A

Câu 13. Tìm a để hàm số $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}5a{x}^2+3x+2a+1 khi x\ge 0\\ 1+x+\sqrt{x^2+x+2} khi x<0\end{array}\right.$có giới hạn tại $x\to 0$

A. $+\infty$

B. $-\infty$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. 1

Lời giải

Ta có:

Vậy để hàm số có giới hạn khi $x\to 0$ $\iff \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

$2x + 1 = 1 + \sqrt{2} <=> a = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Chọn C.

Câu 14. Tính $\underset{x\mapsto -1}{lim} \frac{x^2+ 2x + 1}{2x^3 + 2}$

A. $-\infty$

B. 0

C. $\frac{1}{2}$

D. $+\infty$

Lời giải

Chọn B

Câu 15. Tìm giới hạn: $A=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-\sqrt[3]{2x+1}}{x}$

A. $+\infty$

B. $-\infty$

C. $\frac{4}{3}$

D. 0

Lời giải

Chọn C.

Câu 16. Giá trị đúng của $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^4+7}{x^4+1}$

A. -1

B. 1

C. 7

D. $+\infty$

Lời giải

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x⁴ lũy thừa bậc cao nhất của x ta được: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^4+7}{x^4+1}= \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+{\displaystyle \frac{7}{x^4}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x^4}}}= 1$

Chọn B.

Câu 17. Tìm giới hạn $F=\underset{x\to -\infty }{\lim }x(\sqrt{4x^2+1}-x)$

A. $+\infty$

B.$-\infty$

C. $\frac{4}{3}$

D. 0

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l}F=\underset{x\to -\infty }{\lim }x(\sqrt{4x^2+1}-x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }x\left(\left|x\right|\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}-x\right)\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }x\left(-x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}-x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2\left(-\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}-1\right)=-\infty \end{array}$

 

$(\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}-1\right)=-\sqrt{4}-1=-3<\text{}0)$

Chọn B

Câu 18. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(4x^5-3x^3+x+1\right)$ là:

A. $-\infty$

B. 0

C. 4

D. $+\infty$

Lời giải

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(4x^5-3x^3+x+1\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^5\left(4-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}\right)=-\infty .$

Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^5=-\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(4-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}\right)=4>0$

Chọn A.

Câu 19. $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-x+1}{x^2-1}$ bằng:

A. $-\infty$

B. - 1

C. 1

D. $+\infty$

Lời giải

$\underset{x\mapsto 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-x+1}{x^2-1}$= $+\infty$ vì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }( x^2- x + 1) = 1 > 0 và \underset{x\to 1^{+}}{\lim }( x^2-1) = 0; x^2-1>0$

Chọn D

Câu 20. Tìm giới hạn $\underset{x\mapsto 0}{\lim }\frac{1-\cos 2x}{2\sin {\displaystyle \frac{3x}{2}}}$

A. $+\infty$

B. $-\infty$

C. 1

D. 0

Ta có 1- cos2x = 2sin²x nên:

Chọn D.

Câu 21. Cho hàm số $f\left(x\right) =\left\{\begin{array}{c}{(x+1)}^2, x>1\\ x^2+3 , x<1\\ k^2 ,x=1\end{array}\right..$ Tìm k để f(x) gián đoạn tại x= 1.

A. $k\ne \pm 2$

B. $k\ne 2$

C. $k\ne -2$

D. $k\ne \pm 1$

Lời giải

TXĐ: D = R.

Với x= 1 ta có f(1) = k²

Với x ≠ 1 ta có

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) = \underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2+3) = 4; \underset{x\to 1+}{\lim }f\left(x\right) = \underset{x\to 1^{-}}{\lim }{(x+1)}^2 = 4 \\ Suy ra \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right) = 4 \end{gathered}$$

Vậy để hàm số gián đoạn tại x = 1 khi $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right) \ne k^2 \iff k^2\ne 4\iff k\ne \pm 2$

Chọn  A

Câu 22. Tìm m để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-x-2}{x-2}& khi x\ne 2\\ m+1& khi x=2\end{array}\right.$liên tục tại x= 2.

A. m = 1

B. m = 2

C. m = - 1

D. m = - 2

Lời giải

Hàm đã cho xác định trên R.

Ta có: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-x-2}{x-2}\underset{x\to 2}{=\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x+1\right)=3$ và $f\left(2\right)=m+1$

Để hàm số liên tục tại x=2 thì $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)\iff m+1=3\iff m=2$

Chọn B.

Câu 23. Tính $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ biết $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2+3x+1}{x^2+2} khi x<1\\ \frac{3x+2}{3} khi x\ge 1\end{array}\right.$khi $x\to 1$

A. $\frac{5}{3}$

B. $\frac{7}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. Không tồn tại  

Lời giải

Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{3x+2}{3}=\frac{5}{3}$

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+3x+1}{x^2+2}=\frac{5}{3}\Rightarrow \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\frac{5}{3}$

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\frac{5}{3}$

Chọn  A.

Câu 24. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$. M là trung điểm của BB'. Đặt $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{c}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$

B. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

C. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

D. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

Hướng dẫn giải:

Ta phân tích như sau:

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$ 

$=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

Chọn D.

Câu 25. Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ có cạnh bằng a. Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EG}$ bằng?

A. $a^2\sqrt{2}$

B. $a^2$

C. $a^2\sqrt{3}$

D. $\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$

 

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}\right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{AB}\overrightarrow{.EH}$$={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} (\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD})$

$=a^2+ 0=a^2$

(Vì $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}\Rightarrow \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}=0$

Chọn B.

Câu 26. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M, N sao cho AM = 3MD, BN = 3NC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng

B. Các vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng

C. Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng

D. Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng

Lời giải

A. Sai vì $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}\\ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BN}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}\\ \overrightarrow{3MN}=\overrightarrow{3MD}+3\overrightarrow{DB}+3\overrightarrow{BN}\end{array}\right.$

$\Rightarrow 4\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$\Rightarrow$$\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN}$ không đồng phẳng.

B. Đúng vì $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QN}\\ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}\end{array}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{DC}\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{DC}\right)$ $\overrightarrow{\Rightarrow MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng.

C. Đúng. Bằng cách biểu diễn $\overrightarrow{PQ}$ tương tự như trên ta có $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right).$

D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$.

Chọn  A.

Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc $\left(IJ,CD\right)$ bằng

A. 30^o

B. 45^o

C. 60^o

D. 90^o

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1).

Ta có: SA = SB = SC = SD = a nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)$

Từ giả thiết ta có: $IJ\text{ // }SB$(do IJ là đường trung bình của $\Delta SAB$).

Mặt khác, ta lại có $\Delta SAB$đều, do đó: $\widehat{SBA}=60°\Rightarrow \left(SB,AB\right)=60°\Rightarrow \left(IJ,CD\right)=60°$

Chọn C.

Câu 28. Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc giữa $\left(IE,JF\right)$ bằng:

A. 30^o

B. 45^o

C. 60^o

D. 90^o

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có IJ là đường trung bình nên: $\text{IJ}//AB;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}IJ}=\frac{1}{2}AB$(1)

Xét tam giác ABD có EF là đường trung bình của tam giác nên: $\text{EF}//AB\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}};\text{\hspace{0.17em}EF}=\frac{1}{2}AB$(2)

Từ (1); (2) suy ra: IJ // EF và IJ = EF

Từ đó suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành.

Mặt khác: $AB=CD\Rightarrow IJ=\frac{1}{2}AB=JE=\frac{1}{2}CD\Rightarrow ABCD$ là hình thoi (tính chất hai đường chéo của hình thoi)

$\Rightarrow \left(IE,JF\right)=90°$

Chọn  D.

Câu 29.  Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC$ và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}\text{}$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AC}$?

A. 60^o

B. 120^o

C. 45^o

D. 90^o

Hướng dẫn giải:

Ta có: .

Do đó, tam giác ABC đều.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vì hình chóp S.ABC có SA= SB = SC nên hình chiếu của S lên mp(ABC) trùng với G.

Hay $SG\perp \left(ABC\right)$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}AC\perp BG\\ AC\perp SG\end{array}\right.\Rightarrow AC\perp \left(SBG\right)$

Suy ra $AC\perp SB$.

Vậy góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng 90^o.

Chọn  D.

Câu 30. Cho tứ diện ABCD có hai mặt  ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là?

A. 120^o

B. 60^o

C. 90^o

D. 30^o

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AB

Vì ABC và ABD là các tam giác đều

Nên $\left\{\begin{array}{l}CI\perp AB\\ DI\perp AB\end{array}\right.$

Suy ra $AB\perp \left(CID\right)\Rightarrow AB\perp CD$

Do đó, góc giữa AB và CD là 90^o

Chọn C.

II. Tự luận ( 2,5 điểm)

Bài 1( 0,5 điểm). Tính giới hạn: $lim\left[\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+ ... + \frac{1}{n(2n+1)}\right]$

Lời giải

Đặt

Nên

$lim\left[\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+ ... + \frac{1}{n(2n+1)}\right] = lim\frac{n}{2n+10}= lim\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{n}}}= \frac{1}{2}$

Bài 2 (1,5 điểm). Cho hàm số: $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-3x+2}{\left|x-1\right|}& \text{khi\hspace{0.17em}}x\ne 1\\ a& \text{khi }x=1\end{array}\right.$

a) Tìm a để $f\left(x\right)$ liên tục tại trái điểm x = 1

b) Tìm a để $f\left(x\right)$ liên tục tại phải điểm x = 1

c) Tìm a để $f\left(x\right)$ liên tục trên R

Lời giải

 Ta có: $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\begin{array}{c}x-2\\ a\\ 2-x\end{array}& \begin{array}{c}\text{khi }x>1\\ \text{khi }x=1\\ \text{khi }x<1\end{array}\end{array}\right.$

a) Để  liên tục trái tại điểm x = 1

$\iff \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2-x\right)=1$ và $f\left(1\right)=a$

Vậy điều kiện là a = -1

b) Để $f\left(x\right)$ liên tục phải tại điểm x = -1

$\iff \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ tồn tại và $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$

Ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x-2\right)=-1$ và $f\left(1\right)=a$

Vậy điều kiện là $a=-1$

c) Hàm số liên tục trên R trước hết hàm số liên tục tại x=1

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\iff 1=-1$ (mâu thuẫn)

Vậy không tồn tại a để hàm số liên tục trên  R.

Bài 3 (0,5 điểm). Chứng minh rằng phương trình $x^3+x-1=0$ có nghiệm duy nhất x₀ thỏa mãn $0<x_0<\frac{1}{\sqrt{2}}$

Lời giải

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3+x-1$, ta có $f\left(0\right)=-1$ và $f\left(1\right)=1$ nên $f\left(0\right).f\left(1\right)<0$

Mặt khác: $f\left(x\right)=x^3+x-1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\left[0;1\right]$ $\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{\left(x_1^3+x_1-1\right)-\left(x_2^3+x_2-1\right)}{x_1-x_2}=\frac{\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2+1\right)}{x_1-x_2}$ $=x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2+1={\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)}^2+\frac{3x_2^2}{4}+1>0$ với mọi $x_1,x_2$ thuộc R.

Suy ra$f\left(x\right)=x^3+x-1$ đồng biến trên R nên phương trình $x^3+x-1=0$ có nghiệm duy nhất $x_0\in \left(0;1\right)$.

Theo bất đẳng thức Côsi:

$1=x_0^3+x_0>2\sqrt{x_0^4}\Rightarrow 1>2x_0^2\Rightarrow x_0^2<\frac{1}{2}\Rightarrow 0<x_0<\frac{1}{\sqrt{2}}$

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng giữa học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 11

Thời gian làm bài: 45 phút

Đề thi Toán lớp 11 Giữa học kì 2 năm 2022 - 2023 có đáp án Đề số 2

I. Trắc nghiệm

Câu 1. $\lim \left(n^3-2n+1\right)$ bằng

A. 0

B. 1

C. $-\infty$

D. $+\infty$

Lời giải

Ta có: $n^3-2n+1=n^3\left(1-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)$

Vì $\lim n^3=+\infty$ và $\lim \left(1-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)=1>0$ nên $\lim \left(n^3-2n+1\right)=+\infty$

Chọn D.

Câu 2. Tính lim u_n với $u_n=\frac{5n^2+3n-7}{n^2}$

A. 0

B. 5

C. 3

D. -7

Lời giải

Ta có: $\lim u_n=\lim \left(\frac{5n^2}{n^2}+\frac{3n}{n^2}-\frac{7}{n^2}\right)=\lim \left(5+\frac{3}{n}-\frac{7}{n^2}\right)=5$.

Chọn B

Câu 3. Giới hạn của dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n^3+2n+1}{n^4+3n^3+5n^2+6}$ bằng

A. 1

B. 0

C. $+\infty$

D. $\frac{1}{3}$

Lời giải

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n⁴ ( n⁴ là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được

$\lim u_n=\lim \frac{n^3+2n+1}{n^4+3n^3+5n^2+6}=\lim \frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^3}+\frac{1}{n^4}}{1+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}+\frac{6}{n^3}}=\frac{0}{1}=0$

()$\lim \left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n^3}+\frac{1}{n^4}\right)=0+\text{}0+\text{}0=0;\lim \left(1+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}+\frac{6}{n^3}\right)=1+\text{}0+\text{}0+\text{}0=1$

Chọn B

Câu 4. $\lim \frac{\sin \left(n!\right)}{n^2+1}$ bằng

A. 0

B. 1

C. $+\infty$

D. 2

Lời giải

Ta có $\left|\frac{\sin \left(n!\right)}{n^2+1}\right|\le \frac{1}{n^2+1}$ mà $\left|\frac{\sin \left(n!\right)}{n^2+1}\right|\le \frac{1}{n^2+1}$nên $\lim \frac{\sin \left(n!\right)}{n^2+1}=0$

Chọn A.

Câu 5. $\lim \left(n^2-n\sqrt{4n+1}\right)$ bằng:

A. -1

B. 3

C. $+\infty$

D. $-\infty$

Lời giải

Ta có $n^2-n\sqrt{4n+1}=n^2\left(1-\sqrt{\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}\right).$

Vì $\lim n^2=+\infty$ và $\lim \left(1-\sqrt{\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}\right)=1>0$ nên $\lim \left(n^2-n\sqrt{4n+1}\right)=+\infty .$

Chọn C

Câu 6. $\lim \left(5^n-2^n\right)$ bằng

A. $-\infty$

B. 3

C. $+\infty$

D. $\frac{5}{2}$

Lời giải

Ta có $5^n-2^n=5^n\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^n\right)$

Vì $\lim 5^n=+\infty$ và $\lim \left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^n\right)=1>0$ nên $\lim \left(5^n-2^n\right)=+\infty$

Chọn C

Câu 7. $\lim \frac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^n+8^n}$ bằng :

A. 0

B. $\frac{6}{8}$

C. 36

D. $\frac{4}{5}$

Lời giải

$\lim \frac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^n+8^n}=\lim \frac{4.{\left(\frac{4}{8}\right)}^n+36.{\left(\frac{6}{8}\right)}^n}{{\left(\frac{5}{8}\right)}^n+1}=\frac{4.0+\text{}36.0}{0+\text{}1}=0$

Chọn  A

Câu 8. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn $a=2,\mathrm{151515...}$ (chu kỳ 15), a được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $\frac{m}{n}$ trong đó m, n là các  số nguyên dương. Tìm tổng m+ n.

A. 104

B. 312

C. 86

D. 78

Lời giải

Ta có $a=2,\mathrm{151515...}=2+\frac{15}{100}+\frac{15}{{100}^2}+\frac{15}{{100}^3}+\mathrm{...}$

Vì $\frac{15}{100}+\frac{15}{{100}^2}+\frac{15}{{100}^3}+\mathrm{...}$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=\frac{15}{100}$,công bội $q=\frac{1}{100}$ nên $a=2+\frac{\frac{15}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{71}{33}$

Vậy m = 71, n= 33 nên m + n = 104.

Chọn  A

Câu 9. $\underset{x\to \infty }{\lim }(-2x^3+5x)$ bằng:

A. -2

B. 3

C. $+\infty$

D. $-\infty$

Lời giải

Chọn C.

Câu 10. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2017}{3x^3-5x^5}\right)$ bằng:

A. $\frac{2017}{3}$

B. $-\infty$

C. $+\infty$

D. 0

Lời giải

Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3x{}_3-5x^5\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^5\left(\frac{3}{x^2}-5\right)=-\infty$

(Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^5=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{3}{x^2}-5\right)=-5<0$)

Do đó $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2017}{3x^3-5x^5}\right)$ = 0

Chọn D

Câu 11. Giới hạn bên phải của hàm số $y=\frac{3x-7}{x-2}$ khi $x\to 2$ là

A.  $+\infty$

B. $-\infty$

C. 3

D. $\frac{7}{2}$

Lời giải

Hàm số $y=\frac{3x-7}{x-2}$ xác định trên R\{2}.

Ta có $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(x-2)=0; x-2 > 0$ với mọi x > 2 và $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(3x-7) = 3.2-7 = -1 < 0$

Do đó $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{3x-7}{x-2}=-\infty$ 

Chọn B

Câu 12. Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình dưới đây:

Quan sát đồ thị và cho biết trong các giới hạn sau, giới hạn nào là $+\infty$?

A. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$

B. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

C. $\underset{x\to {(-3)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$

D. $\underset{x\to {(-3)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

Lời giải

Khi $x\to 3^{+}$, đồ thị hàm số là một đường cong đi lên từ phải qua trái.

Do đó $\underset{x\to {(-3)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

Tương tự như vậy ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = 0; $\underset{x\to {(-3)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

Chọn C.

Câu 13. Tính $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}$

A. 1

B. 4

C. -2

D. -4

Lời giải

Ta có $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+2}{x-1}=\frac{2+2}{2-1}=4$

Chọn B.

Câu 14. Giới hạn của hàm số $f\left(x\right) = \frac{x^2-(a+2)x+a+1}{x^3-1} khi x\to 1$ bằng

A. $-\frac{a}{3}$

B. $\frac{a}{3}$

C. $\frac{-a-2}{3}$

D. $\frac{2-a}{3}$

Lời giải

$\underset{x\to 1}{\lim }= \frac{x^2-(a+2)x+a+1}{x^3-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)x-a-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-a-1x}{x^2+x+1}=-\frac{a}{3}$

Chọn A.

Câu 15. Giả sử $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+ax}-1}{2x}$= L. Hệ số a  bằng bao nhiêu để L = 3 ?

A. -6

B. 6

C. -12

D. 12

Lời giải

Ta có $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+ax}-1}{2x}= \underset{x\to 0}{\lim }\frac{ax}{2x(\sqrt{1+ax}-1)}= \underset{x\to 0}{\lim }\frac{a}{2(\sqrt{1+ax}-1)}= \frac{a}{4}$

Vậy L = $\frac{a}{4}$

Do đó để L = 3 $\iff \frac{a}{4}= 3 \iff a = 12$

Chọn D.

Câu 16. Cho a và b là các số thực khác 0. Khi đó $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ax}{\sin bx}$ bằng?

A. a

B. b

C. $\frac{a}{b}$

D. $\frac{b}{a}$

Lời giải

Ta có

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ax}{\sin bx}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{bx}{\sin bx}.\frac{a}{b}.\underset{x\to 0}{\lim }\frac{bx}{\sin bx} = \frac{a}{b}.1 = \frac{a}{b}$.

Chọn C.

Câu 17. Giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-x}-\sqrt{4x^2+1}}{2x+3}$ bằng :

A. $-\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $-\infty$

D. $+\infty$

Lời giải

Ta đưa x² ra ngoài căn rồi chia cả tử và mẫu cho x. Cụ thể như sau:

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-x}-\sqrt{4x^2+1}}{2x+3}= \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left|x\right|\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}-\left|x\right|\sqrt{4+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}{2x+3} \\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}+x\sqrt{4+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}{2x+3}= \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}+\sqrt{4+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}{2+{\displaystyle \frac{3}{x}}}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Chọn B

Câu 18. Giới hạn $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}(\frac{1}{x+1}-1)$ bằng :

A. 0

B. -1

C. 1

D. $-\infty$

Lời giải

Ta có :

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}(\frac{1}{x+1}-1)= \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1-(x+1)}{x(x+1)}= \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x}{x(x+1)}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-1}{x+1}= -1$

Chọn B

Xem thêm các bộ đề thi Toán lớp 11 chọn lọc, hay khác:

TOP 30 Đề thi Toán Học kì 2 lớp 11 năm 2022 - 2023 có đáp án

Đề cương Học kì 2 Toán lớp 11 năm 2022 - 2023 chi tiết nhất

Bài tập Toán lớp 11 Học kì 2 có đáp án

Các dạng bài tập Toán lớp 11 Học kì 2

Hệ thống kiến thức Toán lớp 11 Học kì 2