Bài 7 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Lời giải Bài 7 trang 115 Toán 11 Tập 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

1 210 27/12/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Bài 7 trang 115 Toán 11 Tập 2: Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98). Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m³. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Bài 7 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

Bài 7 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Mô hình hóa chân tháp của bài toán bằng khối chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’, với O, O’ lần lượt là tâm của hai đáy ABCD và A’B’C’D’.

Như vậy ta có:

⦁ ABCD là hình vuông cạnh 5 có diện tích S_ABCD = 5² = 25;

⦁ A’B’C’D’ là hình vuông cạnh 2 có diện tích S_{A’B’C’D’} = 2² = 4;

⦁ Các cạnh bên A’A, B’B, C’C, D’D có độ dài bằng 3;

⦁ OO’ vuông góc với (ABCD) và (A’B’C’D’).

Do ABCD là hình vuông nên $\hat{A B C} = 90 °,$ do đó tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC² = 5² + 5² = 50.

Suy ra $A C = 5 \sqrt{2} .$

Do đó $C O = \frac{A C}{2} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ (do O là tâm hình vuông ABCD).

Do A’B’C’D’ là hình vuông nên $\hat{A^{'} B^{'} C^{'}} = 90 °,$ do đó tam giác A’B’C’ vuông tại B’.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác A’B’C’ vuông tại B’ có:

A’C’² = A’B’² + B’C’² = 2² + 2² = 8.

Suy ra $A^{'} C^{'} = 2 \sqrt{2} .$

Do đó $C^{'} O^{'} = \frac{A^{'} C^{'}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ (do O’ là tâm hình vuông A’B’C’D’).

Dễ thấy: (ABCD) ∩ (A’C’CA) = AC;

(A’B’C’D’) ∩ (A’C’CA) = A’C’.

Mà (ABCD) // (A’B’C’D’).

Suy ra AC // A’C’ hay A’C’CA là hình thang.

Xét hình thang A’C’CA, kẻ C’H ⊥ AC (H ∈ AC).

Vì OO’ ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên OO’ ⊥ AC.

Do đó C’H // OO’ (cùng vuông góc với AC).

Mà O’C’ // OH (do A’C’ // AC)

Suy ra O’C’HO là hình bình hành.

Do đó: OO’ = C’H và $O H = C^{'} O^{'} = \sqrt{2} .$

Suy ra $H C = O C - O H = \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} .$

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác C’HC vuông tại H (do C’H ⊥ AC) có:

C’C² = C’H² + HC²

Suy ra $C^{'} H = \sqrt{C^{'} C^{2} - H C^{2}} = \sqrt{3^{2} - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} .$

Do đó $O O^{'} = C^{'} H = \frac{3 \sqrt{2}}{2} .$

Thể tích khối chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ với chiều cao $O O^{'} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ và diện tích hai đáy S_ABCD = 25, S_{A’B’C’D’} = 4 là:

$V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{1}{3} . \frac{3 \sqrt{2}}{2} (25 + \sqrt{25.4} + 4) = \frac{39 \sqrt{2}}{2}$ (m³).