Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 học sinh thích chơi cầu lông, 20 học sinh thích

Lời giải Bài 16 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

1 2,332 20/11/2024

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Bài 16 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 học sinh thích chơi cầu lông, 20 học sinh thích chơi bóng bàn, 12 học sinh thích chơi cả cầu lông và bóng bàn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất của các biến cố:

a) A: “Học sinh được chọn thích chơi cầu lông”;

b) B: “Học sinh được chọn thích chơi bóng bàn”;

c) C: “Học sinh được chọn vừa thích chơi cầu lông vừa thích chơi bóng bàn”;

d) D: “Học sinh được chọn thích chơi ít nhất một trong hai môn thể thao là câu lông hoặc bóng bàn”.

Lời giải:

Mỗi cách chọn 1 học sinh từ 40 học sinh trong lớp cho ta một tổ hợp chập 1 của 40 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 1 của 40 phần tử và $n (Ω) = C_{40}^{1} = 40.$

a) Xét biến cố A: “Học sinh được chọn thích chơi cầu lông”.

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là $n (A) = C_{25}^{1} = 25.$

Xác suất của biến cố A là: $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8} .$

b) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là $n (B) = C_{20}^{1} = 20.$

Xác suất của biến cố B là: $P (B) = \frac{n (B)}{n (Ω)} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} .$

c) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố C là $n (C) = C_{12}^{1} = 12.$

Xác suất của biến cố C là: $P (C) = \frac{n (C)}{n (Ω)} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10} .$

d) Ta thấy D = A ∪ B và C = A ∩ B nên ta có:

$P (D) = P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

$= P (A) + P (B) - P (C) = \frac{5}{8} + \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{33}{40} .$

*Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định biến cố của các xác suất, có thể gọi tên các biến cố A; B; C; D để biểu diễn.

Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa các biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian và quan trọng nhất là biến cố đề bài đang yêu cầu tính xác suất thông qua các biến cố ở bước 1.

Bước 3: Sử dụng các mối quan hệ vừa xác định ở bước 2 để chọn công thức cộng hay công thức nhân phù hợp.

*Lý thuyết:

a) Công thức cộng xác suất

- Nếu $A \cap B = \emptyset$ thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc.

- Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

- Nếu các biến cố A₁; A₂; A₃ ; _…A_n đôi một xung khắc với nhau thì

$P (A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{k})$ $= P (A_{1}) + P (A_{2}) + ... + P (A_{k})$

- Công thức tính xác suất của biến cố đối: $P (\bar{A}) = 1 - P (A)$

- Mở rộng: Với hai biến cố bất kì cùng liên quan đến phép thử thì:

$P (A \cup B)$ $= P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

b) Công thức nhân xác suất

- Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.

- Nếu A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi $P (A \cap B) = P (A) . P (B)$

- Một cách tổng quát, nếu k biến cố A₁,A₂,A₃,...,A_k là độc lập thì

$P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap ... \cap A_{k})$ $= P (A_{1}) . P (A_{2}) . P (A_{3}) ... P (A_{k})$

* Chú ý:

Nếu A và B độc lập thì A và $\bar{B}$ độc lập, B và $\bar{A}$ độc lập, $\bar{B}$ và $\bar{A}$ độc lập. Do đó nếu A và B độc lập thì ta còn có các đẳng thức

$\begin{array}{l} P (A \cap \bar{B}) = P (A) . P (\bar{B}) \\ P (\bar{A} \cap B) = P (\bar{A}) . P (B) \\ P (\bar{A} \cap \bar{B}) = P (\bar{A}) . P (\bar{B}) \end{array}$