Hai quả cầu kim loại nhỏ, giống hệt nhau, chứa các điện tích cùng dấu q1 và q2, được treo vào chung

Hai quả cầu kim loại nhỏ, giống hệt nhau, chứa các điện tích cùng dấu q1 và q2, được treo vào chung

Đề bài: Hai quả cầu kim loại nhỏ, giống hệt nhau, chứa các điện tích cùng dấu $q_1$ và $q_2$, được treo vào chung một điểm O bằng hai sợi dây chỉ mảnh, không dãn, dài bằng nhau. Hai quả cầu đẩy nhau và góc giữa hai dây treo là 60°. Cho hai quả cầu tiếp xúc với nhau, rồi thả ra thì chúng đẩy nhau mạnh hơn và góc giữa hai dây treo bây giờ là $90°$. Tính tỉ số $\frac{q_1}{q_2}$.

Lời giải: 

Gọi l là chiều dài của dây treo. Khi chưa trao đổi điện tích với nhau thì khoảng cách giữa hai quả cầu là l vì góc hợp bởi phương của 2 sợi dây là 60⁰. Lực đẩy giữa hai quả cầu là: $F_1=k\frac{\left|q_1{q}_2\right|}{{\mathcal{l}}^2}$

Ta có: $\tan {30}^o=\frac{F_1}{P}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=k\frac{q_1{q}_2}{P{\mathcal{l}}^2}$ (1) với P là trọng lượng quả cầu.

Khi cho hai quả cầu trao đổi điện tích với nhau thì mỗi quả cầu mang điện tích $\frac{q_1+q_2}{2}$ . Chúng vẫn đẩy nhau và khoảng cách giữa chúng bây giờ là $\mathcal{l}\sqrt{2}$ vì góc hợp bởi phương hai sợi dây là 90⁰.

Lực đẩy giữa chúng bây giờ là: $F_2=k\frac{{(q_1+q_2)}^2}{8{\mathcal{l}}^2}$

Tương tự như trên, ta có: $tan{45}^0=\frac{F_2}{P}\Rightarrow 1=k\frac{{(q_1+q_2)}^2}{8P{\mathcal{l}}^2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $8\sqrt{3q_1{q}_2}={(q_1+q_2)}^2$

Chia hai vế cho ${q_2}^2$ ta có: $8\sqrt{3q_1{q}_2}={\left(\frac{q_1}{q_2}+1\right)}^2$

Đặt $\frac{q_1}{q_2}=x$ ta có phương trình:

$$\begin{gathered} x^2+(2–8\sqrt{3})x+1=0 \\ \iff x^2–11,86x+1=0 \end{gathered}$$

Các nghiệm của phương trình này là $\left\{\begin{array}{l}{x}_1 =11,77 \\ x_2 =0,085\end{array}\right.$.