Giải Toán 8 trang 89 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 8 trang 89

Bài 8 trang 89 Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD, N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng:

a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB;

b) EMFN là hình bình hành.

Lời giải:

a) • Ta có: AE = EF = FC nên $AE=EF=FC=\frac{1}{3}AC$   (1)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Suy ra $AO=CO=\frac{1}{2}AC$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{CF}{CO}=\frac{\frac{1}{3}AC}{\frac{1}{2}AC}=\frac{2}{3}$ hay $CF=\frac{2}{3}CO$.

• Xét DBCD có CO là trung tuyến của tam giác và $CF=\frac{2}{3}CO$ nên F là trọng tâm của DBCD.

Do đó BF hay BM cũng là đường trung tuyến của DBCD.

Suy ra M là trung điểm của CD.

• Chứng minh tương tự đối với DABD ta có E là trọng tâm của tam giác.

Do đó DE hay DN cũng là đường trung tuyến của DABD.

Suy ra N là trung điểm của AB.

b) • Do M là trung điểm của CD (câu a) nên $MC=MD=\frac{1}{2}CD$.

            N là trung điểm của AB (câu a) nên $NB=NA=\frac{1}{2}AB$.

Mà AB = CD và AB // CD (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra NB = MD và NB // MD.

Xét tứ giác BMDN có NB = MD và NB // MD

Do đó BMDN là hình bình hành.

Suy ra BM // DN và BM = DN.

• Ta có E là trọng tâm của DABD nên $EN=\frac{1}{3}DN$.

          F là trọng tâm của DBCD nên $FM=\frac{1}{3}BM$.

Mà DN = BM (chứng minh trên) nên EN = FM.

• Xét tứ giác EMFN có EN = FM và EN // FM (do BM // DN)

Suy ra EMFN là hình bình hành.

Bài 9 trang 89 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H, D lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AB.

a) Chứng minh rằng tứ giác ADHC là hình thang.

b) Gọi E là điểm đối xứng với H qua D. Chứng minh rằng tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

c) Tia CD cắt AH tại M và cắt BE tại N. Chứng minh rằng tứ giác AMBN là hình bình hành.

Lời giải:

a) • Do DABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ và AB = AC.

Vì AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của BC.

Vì H là trung điểm của BC nên H nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó AH là đường trung trực của BC nên AH ⊥ BC.

• Xét DAHB vuông tại H có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên bằng nửa cạnh huyền AB.

Do đó $HD=DB=DA=\frac{1}{2}AB$.

• Tam giác DBH có DB = DH nên là tam giác cân tại D

Suy ra $\widehat{DBH}=\widehat{DHB}$ hay $\widehat{ABC}=\widehat{DHB}$.

Lại có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{DHB}=\widehat{ACB}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DH // AC.

• Xét tứ giác ADHC có DH // AC nên là hình thang.

b) Do E là điểm đối xứng với H qua D nên D là trung điểm của HE.

Xét tứ giác AHBE có hai đường chéo AB và HE cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường.

Suy ra AHBE là hình bình hành.

Lại có $\widehat{AHB}=90°$ (do AH ⊥ BC) nên hình bình hành AHBE là hình chữ nhật.

c) • Do AHBE là hình chữ nhật nên AH // BE hay MH // NE

Suy ra $\widehat{MHD}=\widehat{NED}$ (so le trong).

• Xét DMHD và DNED có:

$\widehat{MHD}=\widehat{NED}$ (chứng minh trên);

DH = DE (do E là điểm đối xứng với H qua D);

$\widehat{HDM}=\widehat{EDN}$ (đối đỉnh).

Do đó DMHD = DNED (g.c.g)

Suy ra DM = DN (hai cạnh tương ứng).

Hay D là trung điểm của NM.

• Xét tứ giác AMBN có hai đường chéo AB và NM cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường

Suy ra AMBN là hình bình hành.

Bài 10 trang 89 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.

a) Chứng minh rằng tứ giác ANEB là hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng tứ giác ANEM là hình chữ nhật.

c) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt tia EN tại F. Chứng minh rằng tứ giác AFCE là hình thoi.

d) Gọi D là điểm đối xứng của E qua M. Chứng minh rằng A là trung điểm của DF.

Lời giải:

a) • Xét ABC vuông tại A có AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên bằng nửa cạnh huyền BC

Suy ra $AE=EB=EC=\frac{1}{2}BC$.

• Vì EA = EC nên E nằm trên đường trung trực của AC.

Vì N là trung điểm của AC nên N nằm trên đường trung trực của AC.

Suy ra EN là đường trung trực của đoạn thẳng AC nên EN ⊥ AC.

Ta có: BA ⊥ AC và EN ⊥ AC nên BA // EN.

• Tứ giác ANEB có BA // EN nên là hình thang

Lại có $\widehat{BAN}=90°$ nên hình thang ANEB là hình thang vuông.

b) Vì EA = EB nên E nằm trên đường trung trực của AB.

Vì M là trung điểm của AB nên M nằm trên đường trung trực của AB.

Suy ra EM là đường trung trực của AB nên EM ⊥ AB, hay $\widehat{AME}=90°$.

Xét tứ giác ANEM có $\widehat{MAN}=90°$, $\widehat{ANE}=90°$, $\widehat{AME}=90°$ 

Suy ra ANEM là hình chữ nhật.

c) • Xét tứ giác BMFN có FM // BN và MB // NF (do AB // EN)

Suy ra BMFN là hình bình hành.

Do đó MB = NF.

Lại có AM = MB (do M là trung điểm AB) và AM = EN (do ANEM là hình chữ nhật)

Do đó EN = NF hay N là trung điểm của EF.

• Xét tứ giác AFCE có hai đường chéo AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra AFCE là hình bình hành.

Lại có EF ⊥ AC nên AFCE là hình thoi.

d) • Do AFCE là hình thoi (câu c) nên AF // CE và AF = CE.

Chứng minh tương tự câu c, ta cũng có ADBE là hình thoi

Suy ra AD // BE và AD = BE.

• Ta có AF // BC (do AF // CE) và AD // BC (do AD // BE), theo tiên đề Euclid ta có AD và AF trùng nhau hay ba điểm F, A, D thẳng hàng   (1)

• Ta có AF = CE và AD = BE

Mà CE = BE (do E là trung điểm của BC)

Suy ra AF = AD (2)

• Từ (1) và (2) ta có A là trung điểm của DF.

Bài 11 trang 89 Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là giao điểm của AF và DE, K là giao điểm của BF và CE.

a) Chứng minh rằng tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Tứ giác AEFD là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh rằng tứ giác EIFK là hình chữ nhật.

d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác EIFK là hình vuông.

Lời giải:

a) • Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD.

Vì E là trung điểm của AB nên $EA=EB=\frac{1}{2}AB$.

     F là trung điểm của CD nên $FC=FD=\frac{1}{2}CD$.

Mà AB = CD (chứng minh trên).

Do đó EA = EB = FC = FD.

• Xét tứ giác AECF có EA = FC và EA // FC (do AB // CD)

Suy ra AECF là hình bình hành.

b) Xét tứ giác AEFD có AE = DF (chứng minh ở câu a) và AE // DF (do AB // CD)

suy ra AEFD là hình bình hành.

Mặt khác AB = 2AD nên $AD=AE=\frac{1}{2}AB$

Khi đó hình bình hành AEFD là hình thoi.

c) Do AEFD là hình thoi (câu c) nên ta có:

• AF ⊥ DE suy ra $\widehat{EIF}=90°$;

• ED là đường phân giác của góc AEF nên $\widehat{DEF}=\frac{1}{2}\widehat{AEF}$.

Chứng minh tương tự câu c ta cũng có tứ giác BEFC là hình thoi

Suy ra:

• BF ⊥ CE suy ra $\widehat{EKF}=90°$;

• EC là đường phân giác của góc BEF nên $\widehat{CEF}=\frac{1}{2}\widehat{BEF}$.

Ta có: $\widehat{IEK}=\widehat{DEF}+\widehat{CEF}=\frac{1}{2}\widehat{AEF}+\frac{1}{2}\widehat{BEF}=\frac{1}{2}\left(\widehat{AEF}+\widehat{BEF}\right)$

Mà $\widehat{AEF}+\widehat{BEF}=180°$ (hai góc kể bù)

Suy ra $\widehat{IEK}=\widehat{DEF}+\widehat{CEF}=\frac{1}{2}.180°=90°$.

• Xét tứ giác EIFK có $\widehat{EIF}=90°;\widehat{EKF}=90°;\widehat{IEK}=90°$ nên là hình chữ nhật.

d) Theo câu c, tứ giác EIFK là hình chữ nhật

Do đó để tứ giác EIFK là hình vuông thì IE = IF   (1)

Xét hình thoi AEFD có hai đường chéo AF, DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên I là trung điểm của AF và DE.

Suy ra IA = IF và ID = IE (2)

Từ (1) và (2) suy ra IA = ID

Tam giác IAD có IA = ID nên là tam giác cân tại I

Lại có $\widehat{AID}=90°$ (do AF ⊥ DE) nên DIAD vuông cân tại I

Suy ra $\widehat{IAD}=45°$.

Mặt khác AEFD là hình thoi (câu c) nên ta có AF là đường phân giác của góc EAD

Suy ra $\widehat{EAD}=2\widehat{IAD}=2.45°=90°$, hay $\widehat{BAD}=90°$.

Vậy để tứ giác EIFK là hình vuông thì hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện $\widehat{BAD}=90°$ hay ABCD là hình chữ nhật.

Bài 12 trang 89 Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB tại E. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N.

a) Tứ giác MNCD là hình gì?

b) Chứng minh tam giác EMC cân tại M.

c) Chứng minh rằng $\widehat{BAD}=2\widehat{AEM}$.

Hướng dẫn:

b) Chứng minh $EN=NC=NB=\frac{1}{2}BC$.

c) Chứng minh $\widehat{AEM}=\widehat{EMN}=\widehat{NMC}=\widehat{MCD}=\frac{1}{2}\widehat{NCD}$.

Lời giải:

a) • Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AD // BC.

Ta có AB ⊥ CE và MN ⊥ CE nên AB // MN

Mà AB // CD nên MN // CD.

Xét tứ giác MNCD có MN // CD và MD // CN (do AD // BC)

Suy ra MNCD là hình bình hành.

• Ta có M là trung điểm của AD nên $MA=MD=\frac{1}{2}AD$ hay AD = 2MD

Mà AD = 2AB nên AB = MD

Lại có AB = CD (do ABCD là hình bình hành)

Do đó MD = CD.

• Hình bình hành MNCD có MD = CD nên MNCD là hình thoi.

b) • Do MNCD là hình thoi nên $MD=CD=NC=MN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$ (do AD = BD).

Do $NC=\frac{1}{2}BC$ nên N là trung điểm của BC.

• Xét DEBC vuông tại E có EN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên bằng nửa cạnh huyền BC

Suy ra $EN=NB=NC=\frac{1}{2}BC$.

• Do NE = NC nên N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EC

Hay đường trung trực của EC đi qua N và vuông góc với EC.

Lai có NF ⊥ EC nên NF là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra F là trung điểm của EC hay FE = FC.

• Xét DEMF và DCMF có:

$\widehat{MFE}=\widehat{MFC}=90°$;

MF là cạnh chung;

FE = FC (chứng minh trên).

Do đó DEMF = DCMF (hai cạnh góc vuông).

Suy ra ME = MC (hai cạnh tương ứng)

Tam giác EMC có ME = MC nên là tam giác cân tại M.

c) • Vì AB // MN (chứng minh ở câu a) nên $\widehat{AEM}=\widehat{EMF}$ (so le trong)

Ta có DEMF = DCMF (chứng minh ở câu b) nên $\widehat{EMF}=\widehat{CMF}$

Do đó $\widehat{AEM}=\widehat{CMF}\left(=\widehat{EMF}\right)$.

• Do MNCD là hình thoi nên MC là đường phân giác của góc DMN

Suy ra $\widehat{CMF}=\frac{1}{2}\widehat{DMN}$, nên $\widehat{AEM}=\widehat{CMF}=\frac{1}{2}\widehat{DMN}$ (1)

• Do DMNC là hình thoi nên $\widehat{DMN}=\widehat{DCN}$ (hai góc đối bằng nhau)

Do ABCD là hình bình hành nên $\widehat{BAD}=\widehat{DCB}$ (hai góc đối bằng nhau)

Do đó $\widehat{DMN}=\widehat{BAD}\left(=\widehat{DCN}\right)$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\widehat{AEM}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}$ hay $\widehat{BAD}=2\widehat{AEM}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán 8 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải Toán 8 trang 88

Giải Toán 8 trang 89