Giải Toán 10 trang 69 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 69 Tập 2

Hoạt động 2 trang 69 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Gọi M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB (minh họa ở Hình 19).

 

a) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$.

b) Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.

Lời giải

a) Do M là trung điểm của AB nên ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$.

Suy ra $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$.

b) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OA}$ chính là tọa độ của điểm A(x_A; y_A) nên $\overrightarrow{OA}=\left(x_A;y_A\right)$.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OB}$ chính là tọa độ của điểm B(x_B; y_B) nên $\overrightarrow{OB}=\left(x_B;y_B\right)$.

Ta có: $\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}=\left(\frac{1}{2}{x}_A;\frac{1}{2}{y}_A\right)$; $\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\left(\frac{1}{2}{x}_B;\frac{1}{2}{y}_B\right)$.

Do đó: $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\left(\frac{1}{2}{x}_A+\frac{1}{2}{x}_B;\frac{1}{2}{y}_A+\frac{1}{2}{y}_B\right)$$=\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ chính là tọa độ của điểm M.

Vậy tọa độ của điểm M là $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

Luyện tập 3 trang 69 Toán 10 Tập 2: Cho hai điểm A(2; 4)  và M(5; 7).Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm đoạn thẳng AB.

Lời giải

Gọi tọa độ điểm B là (x_B; y_B).

M là trung điểm của AB nên $x_M=\frac{x_A+x_B}{2};y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_B=2x_M-x_A=2.5-2=8\\ y_B=2y_M-y_A=2.7-4=10\end{array}\right.$.

Vậy tọa độ điểm B là (8; 10).

Hoạt động 3 trang 69 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (minh họa ở Hình 20).

 

a) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OG}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OC}$.

b) Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C.

Lời giải

a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$.

Suy ra $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$.

b) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OA}$ chính là tọa độ của điểm A(x_A; y_A) nên $\overrightarrow{OA}=\left(x_A;y_A\right)$.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OB}$ chính là tọa độ của điểm B(x_B; y_B) nên $\overrightarrow{OB}=\left(x_B;y_B\right)$.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OC}$ chính là tọa độ của điểm C(x_C; y_C) nên $\overrightarrow{OC}=\left(x_C;y_C\right)$.

Ta có: $\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}=\left(\frac{1}{3}{x}_A;\frac{1}{3}{y}_A\right)$; $\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}=\left(\frac{1}{3}{x}_B;\frac{1}{3}{y}_B\right)$; $\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}=\left(\frac{1}{3}{x}_C;\frac{1}{3}{y}_C\right)$.

Do đó:

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}=\left(\frac{1}{3}{x}_A+\frac{1}{3}{x}_B+\frac{1}{3}{x}_C;\frac{1}{3}{y}_A+\frac{1}{3}{y}_B+\frac{1}{3}{y}_C\right)$$=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OG}$ chính là tọa độ của điểm G.

Vậy tọa độ của điểm G là $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.

Luyện tập 4 trang 69 Toán 10 Tập 2: Cho ba điểm A(– 1; 1); B(1; 5); G(1; 2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(1-\left(-1\right);5-1\right)$, do đó $\overrightarrow{AB}=\left(2;4\right)$

$\overrightarrow{AG}=\left(1-\left(-1\right);2-1\right)$, do đó $\overrightarrow{AG}=\left(2;1\right)$.

Vì $\frac{2}{2}\ne \frac{4}{1}$ nên $\overrightarrow{AB}\ne k\overrightarrow{AG}$.

Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Gọi tọa độ điểm C(x_C; y_C).

G là trọng tâm của tam giác ABC $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=3x_G-x_A-x_B=3.1-\left(-1\right)-1=3\\ y_C=3y_G-y_A-y_B=3.2-1-5=0\end{array}\right.$.

Vậy tọa độ điểm C là (3; 0).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 67 Tập 2

Giải Toán 10 trang 68 Tập 2

Giải Toán 10 trang 69 Tập 2

Giải Toán 10 trang 70 Tập 2

Giải Toán 10 trang 72 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7