Giải Toán 10 trang 43 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 43 Tập 1

Luyện tập 4 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Trong bài toán ở phần mở đầu, độ cao y (m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Ta có: y =  – 0,00188(x – 251,5)² + 118

⇔ y = – 0,00188x² + 0,94564x – 0,91423 là hàm số bậc hai với a = -0,00188, b = 0,94564 và c = -0,91423.

Khi đó: ∆ = (0,94564)² – 4 . (– 0,00188) . (– 0,91423) = 0,88736

Suy ra: $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{0,88736}{4.\left(-0,00188\right)}=118$

Ta có: a = – 0,00188 < 0 ta có bảng biến thiên sau:

Vậy độ cao lớn nhất cần tìm là 118 m.

Bài tập

Bài 1 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định a, b, c lần lượt là hệ số của x2, hệ số của x và hệ số tự do.

a) y = – 3x²; 

b) y = 2x(x² – 6x + 1); 

c) y = 4x(2x – 5).

Lời giải:

a) y = – 3x² có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0) nên đây là hàm số bậc hai với a = – 3, b = 0 và c = 0.

b) y = 2x(x² – 6x + 1) ⇔ y = 2x⁴ – 12x² + 2x

Bậc của đa thức là 4.

Do đó hàm số này không phải là hàm số bậc hai.

c) y = 4x(2x – 5) ⇔ y = 8x² – 20x

Hàm số này có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0) nên đây là hàm số bậc hai với hệ số a = 8, b = – 20 và c = 0.

Bài 2 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Xác định parabol y = ax² + bx + 4 trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm M(1; 12) và N(– 3; 4); 

b) Có đỉnh là I(– 3; – 5).

Lời giải:

a) Thay x = 1, y = 12 vào hàm số ta được:

12 = a.1² + b.1 + 4 ⇔ a + b = 8  ⇔ a = 8 – b   

Thay x = – 3, y = 4 vào hàm số ta được:

4 = a.(-3)² + (-3).b + 4 ⇔ 4 = 9a - 3b + 4 ⇔  3a – b = 0   (1)

Thế a = 8 - b vào (1) ta có: 3. (8 – b) – b = 0 ⇔ 24 – 4b = 0 ⇔ b = 6.

⇒ a = 8 – b = 8 – 6 = 2.

Vậy parabol cần tìm là y = 2x² + 6x + 4.

b)  Tọa độ đỉnh của Parabol là I(– 3; – 5)

Khi đó, ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=-3\\ a.{\left(-3\right)}^2+b.\left(-3\right)+4=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=6a\\ 9a-3b=-9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=6a\\ 9a-3.6a=-9\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\iff \left\{\begin{array}{l}b=6a\\ -9a=-9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=6\\ a=1\end{array}\right.$

Vậy parabol cần tìm là y = x² + 6x + 4. 

Bài 3 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = 2x² – 6x + 4; 

b) y = – 3x² – 6x – 3.  

Lời giải:

a) y = 2x² – 6x + 4

Ta có: a = 2, b = – 6, c = 4, ∆ = (– 6)² – 4 . 2 . 4 = 4.

- Tọa độ đỉnh $I=\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)=\left(-\frac{-6}{2.2};-\frac{4}{4.2}\right)=\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$.

- Trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2.2}=\frac{3}{2}$.

- Ta có bảng sau:

x	0	1	$\frac{3}{2}$	2	3
y = 2x2 – 6x + 4	4	0	$-\frac{1}{2}$	0	4

Đồ thị hàm số là các đường thẳng đi qua các điểm A(0; 4), B(1; 0), $I\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$, C(2; 0) và D(3; 4).

- Do a > 0 nên đồ thị có bề lõm hướng lên trên.

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = 2x² – 6x + 4 như hình vẽ dưới.

b) y = – 3x² – 6x – 3

Ta có: a = – 3, b = – 6, c = – 3, ∆ = (– 6)² – 4 . (– 3) . (– 3) = 0.

- Tọa độ đỉnh $I=\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)=\left(-\frac{-6}{2.\left(-3\right)};-\frac{0}{4.\left(-3\right)}\right)=\left(-1;0\right)$.

- Trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2.\left(-3\right)}=-1$.

- Tọa độ đỉnh I(– 1; 0).

- Trục đối xứng x = – 1.

- Ta có bảng sau:

x	-3	-2	-1	0	1
y = – 3x2 – 6x – 3	-12	-3	0	-3	-12

Đồ thị hàm số là các đường thẳng đi qua các điểm A(-3; -12), B(-2; -3), I(-1; 0), C(0; -3) và D(1; -12).

- Do a < 0 nên bề lõm của đồ thị hướng xuống.

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = – 3x² – 6x – 3 như hình dưới.

Bài 4 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đồ thị hàm số bậc hai ở Hình 15.

a) Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số.

b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số. 

c) Tìm công thức xác định hàm số. 

Lời giải:

a) Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 15, ta thấy trục đối xứng của hàm số là đường thẳng x = 2, tọa độ đỉnh I(2; – 1). 

b) Quan sát hình vẽ, ta thấy:

- Đồ thị hàm số đi xuống trên khoảng (– ∞; 2) nên hàm số nghịch biến trên (– ∞; 2).

- Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng (2; + ∞) nên hàm số đồng biến trên (2; + ∞).

c) Giả sử hàm số cần tìm có dạng: y = ax² + bx + c   (a ≠ 0) (1)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 3):

Thay x = 0 và y = 3 vào đồ thị hàm số (1), ta được:

3 = a.0² + b.0 + c ⇔ c = 3.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm (1; 0) và (3; 0)

Thay x = 1 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1), ta được:

0 = a.1² + b.1 + c ⇔ a + b + c = 0

Mà c = 3 nên a + b + 3 = 0

Thay x = 3 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1), ta được:

0 = a.3² + b.3 + c ⇔ 9a + 3b + c = 0

Mà c = 3 nên 9a + 3b + 3 = 0

Khi đó ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a+b+3=0\\ 9a+3b+3=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-b-3\\ 9\left(-b-3\right)+3b+3=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-b-3\\ -6b-24=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy công thức xác định của hàm số là: y = x² – 4x + 3.

Bài 5 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của mỗi hàm số sau:

a) y = 5x² + 4x – 1;

b) y = – 2x² + 8x + 6.

Lời giải:

a) y = 5x² + 4x – 1

Ta có: a = 5 > 0, b = 4, $-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2.5}=-\frac{2}{5}$, Δ = 4² – 4.5.(-1) = 16 + 20 = 36, $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{36}{4.5}=-\frac{9}{5}.$

Khi đó ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{2}{5}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{2}{5};+\infty \right)$.

b) y = – 2x² + 8x + 6

Ta có: a = – 2 < 0, b = 8, $-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2.\left(-2\right)}=2$, Δ = 8² – 4.(-2).6 = 64 + 48 = 112, $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{112}{4.\left(-2\right)}=14.$

Khi đó, ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– ∞ ; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; + ∞).

Bài 6 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Khi du lịch đến thành phố St.Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như Hình 16 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng có vị trí tọa độ (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ là (10; 43). Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Lời giải:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

Cổng Arch có dạng hình parabol nên có dạng: y = ax² + bx + c (a ≠ 0) (1)

 Ta có parabol này đi qua gốc tọa độ O(0; 0), điểm M(10; 43) và điểm có tọa độ (162; 0).

Vì điểm O(0; 0) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 0 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 0 = a . 0² + b . 0 + c ⇔ c = 0

Vì điểm M(10; 43) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 10 và y = 43 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 43 = a.10² + b.10 + c ⇔ 100a + 10b = 43 (do c = 0)

Vì điểm có tọa độ (162; 0) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 162 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 0 = a.162² + b. 162 + c ⇔ 26 244a + 162b = 0 hay 162a + b = 0

Khi đó ta có hệ phương trình: 

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{43}{1520}\\ b=\frac{3483}{760}\end{array}\right.$

Do đó: $y=\frac{-43}{1520}{x}^2+\frac{3483}{760}x$

Ta có $a=-\frac{43}{1520}<0$, parabol có bề lõm hướng xuống dưới nên điểm cao nhất chính là điểm đỉnh của parabol và khi đó chiều cao của cổng chính là tung độ đỉnh của parabol.

Ta có: $\Delta =b^2-4ac={\left(\frac{3483}{760}\right)}^2-0={\left(\frac{3483}{760}\right)}^2$

Tung độ của đỉnh: $-\frac{\Delta }{4a}=-\left({\left(\frac{3483}{760}\right)}^2:\left(4.\frac{-43}{1520}\right)\right)\approx 186$.

Vậy chiều cao của cổng khoảng 186 m.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 39 Tập 1

Giải Toán 10 trang 40 Tập 1

Giải Toán 10 trang 41 Tập 1

Giải Toán 10 trang 42 Tập 1

Giải Toán 10 trang 43 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác