Giải SBT Toán 7 trang 62 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 7 trang 62 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.27 trang 62 SBT Toán 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, $\widehat{ADE}=\widehat{BCE}$. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{DAC}=\widehat{CBD}$.

b) ∆AED = ∆BEC.

c) AB song song với DC.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác AED có:

$\widehat{ADE}+\widehat{DAE}+\widehat{AED}=180°$

$\widehat{DAE}=180°-\widehat{ADE}-\widehat{AED}$ (1)

Xét tam giác BEC có:

$\widehat{BCE}+\widehat{EBC}+\widehat{BEC}=180°$

$\widehat{EBC}=180°-\widehat{BCE}-\widehat{BEC}$ (2)

Mà $\widehat{ADE}=\widehat{BCE}$; $\widehat{AED}=\widehat{BEC}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra, $\widehat{DAE}=\widehat{EBC}$ hay $\widehat{DAC}=\widehat{CBD}$ (điều phải chứng minh).

b) Xét ∆AED và ∆BEC ta có:  

$\widehat{DAE}=\widehat{EBC}$ (chứng minh trên)

$\widehat{ADE}=\widehat{BCE}$ (giả thiết)

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆AED = ∆BEC (g – c – g).

c) Vì ∆AED = ∆BEC nên AE = BE; ED = EC.

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.

Do đó, AC = BD.

Xét ∆ABD và ∆BAC ta có:  

AC = BD (chứng minh trên)

AB chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ABD = ∆BAC (c – c – c)

Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác AEB có:

$\widehat{ABE}+\widehat{BAE}+\widehat{AEB}=180°$

Do đó, $2\widehat{ABE}=180°-\widehat{AEB}$ (vì $\widehat{ABE}=\widehat{BAE}$ do $\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$)

Suy ra $\widehat{ABE}=\frac{180°-\widehat{AEB}}{2}$  (4)

Xét ∆ACD và ∆BDC ta có:  

AC = BD (chứng minh trên)

CD chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ACD = ∆BDC (c – c – c)

Suy ra $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác DEC có:

$\widehat{DCE}+\widehat{EDC}+\widehat{DEC}=180°$

Do đó, $2\widehat{EDC}=180°-\widehat{DEC}$ (vì $\widehat{EDC}=\widehat{DCE}$ do $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$)

Suy ra $\widehat{EDC}=\frac{180°-\widehat{DEC}}{2}$ (5)

Lại có, $\widehat{AEB},\widehat{DEC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$ (6)

Từ (4); (5); (6) suy ra $\widehat{ABE}$ = $\widehat{EDC}$ hay $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$.

Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Bài 4.28 trang 62 SBT Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.28).

a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF. Chứng minh rằng AM = DN.

b) Trên hai cạnh AC và DF lấy hai điểm P và Q sao cho BP, EQ lần lượt là phân giác của các góc $\widehat{ABC}$ và $\widehat{DEF}$. Chứng minh rằng: BP = EQ.

Hướng dẫn giải

a) Vì ∆ABC = ∆DEF nên  

$\left\{\begin{array}{l}\widehat{ABC}=\widehat{DE\text{}F};\widehat{BAC}=\widehat{EDF};\\ \hspace{0.17em}\widehat{ACB}=\widehat{DFE}\\ AB=DE;BC=E\text{}F;AC=DF\end{array}\right.$

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}BC$.

Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = $\frac{1}{2}EF$.

Mà BC = EF (chứng minh trên) nên BM = EN.

Xét ∆ABM và ∆DEN ta có:  

BM = EN (chứng minh trên)

AB = DE (chứng minh trên)

$\widehat{ABM}=\widehat{DE\text{}N}$ (do $\widehat{ABC}=\widehat{DE\text{}F}$ chứng minh trên)

Do đó, ∆ABM = ∆DEN (c – g – c).

Suy ra, AM = DN (hai cạnh tương ứng).

b) Vì BP là tia phân giác của góc $\widehat{ABP}$ nên $\widehat{ABP}=\widehat{PBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$ 

Vì EQ là tia phân giác của góc $\widehat{DEF}$ nên  $\widehat{DE\text{}Q}=\widehat{QEF}=\frac{\widehat{DE\text{}F}}{2}$

Mà $\widehat{ABC}$ = $\widehat{DE\text{}F}$ nên $\widehat{PBC}$ = $\widehat{QEF}$.

Xét ∆PBC và ∆QEF ta có:  

BC = EF (chứng minh trên)

$\widehat{PBC}$ = $\widehat{QEF}$ (chứng minh trên)

$\widehat{PCB}=\widehat{QFE}$ (do $\widehat{ACB}=\widehat{DFE}$ chứng minh trên)

Do đó, ∆PBC = ∆QEF (g – c – g)

Suy ra, BP = EQ (hai cạnh tương ứng).

Bài 4.29 trang 62 SBT Toán 7 Tập 1: Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng cạnh BC và EF của hai tam giác ABC và DEF. Giả sử rằng AB = DE, BC = EF, AM = DN (H.4.29). Chứng minh rằng ∆ABC = ∆DEF.

Hướng dẫn giải

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{BC}{2}$

Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = $\frac{EF}{2}$

Mà BC = EF (giả thiết) nên BM = EN.

Xét ∆ABM và ∆DEN ta có:  

AB = DE (giả thiết)

BM = EN (chứng minh trên)

AM = DN (giả thiết)

Do đó, ∆ABM = ∆DEN (c – c – c).

Suy ra, $\widehat{ABM}=\widehat{DE\text{}N}$(hai góc tương ứng) hay $\widehat{ABC}=\widehat{DE\text{}F}$.

Xét ∆ABC và ∆DEF ta có:

AB = DE (giả thiết)

BC = EF (giả thiết)

$\widehat{ABC}=\widehat{DE\text{}F}$ (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – g – c).

Bài 4.30 trang 62 SBT Toán 7 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Xét ∆OAB và ∆OCD ta có:

OA = OC (giả thiết)

$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh)

OB = OD (giả thiết)

Do đó, ∆OAB = ∆OCD (c – g – c).

Suy ra AB = DC và $\widehat{BAO}=\widehat{OCD}$ hay $\widehat{BAC}=\widehat{ACD}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AB // DC (1).

Xét ∆OAD và ∆OCB ta có:

OA = OC (giả thiết)

$\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$ (hai góc đối đỉnh)

OD = OB (giả thiết)

Do đó, ∆OAD = ∆OCB (c – g – c).

Suy ra AD = BC và $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$ hay $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

Ta có: OA = OC = OB = OD, AC = OA + OC, BD = OB + OD.

Do đó, AC = BD.

 Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:

AB = DC  (chứng minh trên)

AD: cạnh chung

BD = AC (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{CDA}$.

Lại có: $\widehat{BAD}+\widehat{CDA}=180°$ (do AB // DC, hai góc ở vị trí trong cùng phía)

Do đó: $\widehat{BAD}=\widehat{CDA}=\frac{180°}{2}=90°$.

Vậy hình bình hành ABCD có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải SBT Toán 7 trang 60 Tập 1

Giải SBT Toán 7 trang 61 Tập 1

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 12: Tổng các góc trong một tam giác

Bài 13: Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác

Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Ôn tập chương 4