Giải SBT Toán 7 trang 36 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 7 trang 36 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.35 trang 36 SBT Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức f(x) = 4x⁴ − 5x³ + 3x + 2 và g(x) = −4x⁴ + 5x³ + 7. Trong các số −4; −3; 0 và 1, số nào là nghiệm của đa thức f(x) + g(x)?

Lời giải:

Ta có: f(x) + g(x)

= (4x⁴ − 5x³ + 3x + 2) + (−4x⁴ + 5x³ + 7)

= 4x⁴ − 5x³ + 3x + 2 −4x⁴ + 5x³ + 7

= (4x⁴ −4x⁴) + (−5x³ + 5x³) + 3x + (2 + 7)

= 3x + 9.

Để tìm nghiệm của đa thức f(x) + g(x) thì đa thức phải bằng 0.

Suy ra 3x + 9 = 0

x = (−9) : 3 = −3

Vậy nghiệm của đa thức f(x) + g(x) là x = −3

Bài 7.36 trang 36 SBT Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức f(x) = −x⁵ + 3x² + 4x + 8  và g(x) = −x⁵ − 3x² + 4x + 2. Chứng minh rằng đa thức f(x) – g(x) không có nghiệm.

Lời giải:

Ta có f(x) – g(x)

= (−x⁵ + 3x² + 4x + 8) – (−x⁵ − 3x² + 4x + 2)

= −x⁵ + 3x² + 4x + 8 + x⁵ + 3x² – 4x – 2

= (−x⁵ + x⁵) + (3x² + 3x²) + (4x – 4x) + (8 – 2)

= 6x² + 6

Vì f(x) – g(x) = 6x² + 6 ≥ 6 với mọi x nên f(x) – g(x) không có nghiệm.

Bài 7.37 trang 36 SBT Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức sau:

P(x) = 3x⁵ – 2x⁴ + 7x² + 3x – 10

Q(x) = –3x⁵ – x³ – 7x² + 2x + 10

a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức

S(x) = P(x) + Q(x) và D(x) = P(x) – Q(x)

b) Trong tập hợp {–1; 0; 1}, tìm những số là nghiệm của một trong hai đa thức S(x) và D(x).

Lời giải:

a) S(x) = P(x) + Q(x)

= (3x⁵ – 2x⁴ + 7x² + 3x – 10) + (–3x⁵ – x³ – 7x² + 2x + 10)

= 3x⁵ – 2x⁴ + 7x² + 3x – 10 – 3x⁵ – x³ – 7x² + 2x + 10

= (3x⁵ – 3x⁵) – 2x⁴ – x³ + (7x² – 7x²) + (3x + 2x) + (–10 + 10)

= –2x⁴ – x³ + 5x

S(x) = –2x⁴ – x³ + 5x là đa thức bậc 4 với hệ số cao nhất là –2 và hệ số tự do là 0.

D(x) = P(x) – Q(x)

= (3x⁵ – 2x⁴ + 7x² + 3x – 10) − (–3x⁵ – x³ – 7x² + 2x + 10)

= 3x⁵ – 2x⁴ + 7x² + 3x – 10 + 3x⁵ + x³ + 7x² – 2x – 10

= (3x⁵ + 3x⁵ ) – 2x⁴ + x³ + (7x² + 7x²)+ (3x – 2x) + (–10 – 10)

= 6x⁵ – 2x⁴ + x³  + 14x² + x – 20

D(x) = 6x⁵ – 2x⁴ + x³  + 14x² + x – 20 là đa thức bậc 5 với hệ số cao nhất là 6 và hệ số tự do là – 20

b) Xét đa thức S(x):

+) Thay x = – 1 vào đa thức S(x) ta được:

S(0) = –2.(– 1)⁴ – (– 1)³ + 5.(– 1) = – 6 ≠ 0

Do đó x = – 1 không là nghiệm của đa thức S(x).

+) Thay x = 0 vào đa thức S(x) ta được:

S(0) = –2.0⁴ – 0³ + 5.0 = 0

Do đó x = 0 là nghiệm của đa thức S(x).

+) Thay x = 1 vào đa thức S(x) ta được:

S(0) = –2.1⁴ – 1³ + 5.1 = 2 ≠ 0

Do đó x = 1 không là nghiệm của đa thức S(x).

Xét đa thức D(x):

+) Thay x = – 1 vào đa thức D(x) ta được:

D(1) = 6.(– 1)⁵ – 2.(– 1)⁴ + (– 1)³  + 14.(– 1)² + (– 1) – 20 = – 6 – 2 – 1 + 14 – 1 – 20 = – 16 ≠ 0.

Do đó x = – 1 không là nghiệm của đa thức D(x).

+) Thay x = 0 vào đa thức D(x) ta được:

D(1) = 6.0⁵ – 2.0⁴ + 0³  + 14.0² + 0 – 20 = – 20 ≠ 0

Do đó x = 0 không là nghiệm của đa thức D(x).

+) Thay x = 1 vào đa thức D(x) ta được:

D(1) = 6.1⁵ – 2.1⁴ + 1³  + 14.1² + 1 – 20 = 6 – 2 + 1 + 14 + 1 – 20 = 0

Do đó x = 1 là nghiệm của đa thức D(x).

Vậy x = 0 là nghiệm của đa thức S(x) và x = 1 là nghiệm của đa thức D(x).

Bài 7.38 trang 36 SBT Toán 7 Tập 2: Biết rằng đa thức f(x) = x⁴ + px³ – 2x² + 1  có hai nghiệm (khác 0) là hai số đối nhau. Chứng minh rằng p = 0.

Lời giải:

Gọi hai nghiệm đối nhau của f(x) là a và – a (a ≠ 0). Khi đó ta có:

f(a) = a⁴ + pa³ – 2a² + 1 = 0 = f(– a) = (– a)⁴ + p(–a)³ – 2(–a)² + 1

Suy ra:

a⁴ + pa³ – 2a² + 1 = a⁴ – pa³ – 2a² + 1

Thu gọn ta được pa³ = –pa³, suy ra 2pa³ = 0 . Do a ≠ 0 nên từ đẳng thức này suy ra p = 0.

Bài 7.39 trang 36 SBT Toán 7 Tập 2: Thực hiện các phép tính sau:

a) (5x³ – 2x² + 4x – 4)(3x² + x – 1);

b) (9x⁵ – 6x³ + 18x² – 35x – 42) : ( 3x³ + 5x + 6);

c) $\left[\left(6x^3-5x^2-8x+5\right)-(4x^2-6x+2)\right]$ : (2x – 3).

Lời giải:

a) (5x³ – 2x² + 4x – 4)(3x² + x – 1)

= 3x²(5x³ – 2x² + 4x – 4) + x(5x³ – 2x² + 4x – 4) – 1(5x³ – 2x² + 4x – 4)

= 15x⁵ – 6x⁴ + 12x³ – 12x² + 5x⁴ – 2x³ + 4x² – 4x – 5x³ + 2x² – 4x + 4

= 15x⁵ + (–6x⁴ + 5x⁴) + (12x³ – 2x³ – 5x³) + (–12x² + 4x² + 2x²)+ (–4x– 4x) + 4

= 15x⁵ – x⁴ + 5x³ – 6x² – 8x + 4

b) (9x⁵ – 6x³ + 18x² – 35x – 42) : ( 3x² + 5x + 6)

Vậy phép chia (9x⁵ – 6x³ + 18x² – 35x – 42) : ( 3x² + 5x + 6) có thương là 3x² − 7 và dư 0.

c) $\left[\left(6x^3-5x^2-8x+5\right)-(4x^2-6x+2)\right]$ : (2x – 3)

Tính (6x³ − 5x² − 8x + 5) − (4x² − 6x + 2)

= 6x³ − 5x² − 8x + 5 − 4x² + 6x − 2

= 6x³  + (−5x² − 4x²) + (−8x + 6x) + (5 − 2)

= 6x³  − 9x² − 2x  + 3

Ta thực hiện tiếp phép chia (6x³  − 9x² − 2x  + 3) : (2x – 3)

Vậy phép chia $\left[\left(6x^3-5x^2-8x+5\right)-(4x^2-6x+2)\right]$ : (2x – 3) có thương là 3x² − 1 và số dư là 0

Bài 7.40 trang 36 SBT Toán 7 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = (x − 1)(x + 2)(x − 3) − (x + 1)(x − 2)(x + 3)

b) B = (x − 1)(x + 1)( x² + 1)(x⁴ +1) − x⁸

Lời giải:

a) A = (x − 1)(x + 2)(x − 3) − (x + 1)(x − 2)(x + 3)

Ta có:

 (x − 1)(x + 2)(x − 3)

= [x(x + 2) − 1(x + 2)](x − 3)

= (x² + 2x − x − 2)(x − 3)

= (x² + x − 2)(x − 3)

= x(x² + x − 2) − 3(x² + x − 2)

= x³ + x² − 2x − 3x² − 3x + 6

= x³ + (x² − 3x²) +  (−2x − 3x) + 6

= x³ − 2x² − 5x + 6 (1)

(x + 1)(x − 2)(x + 3)

= [x(x − 2) + 1(x − 2)](x + 3)

= (x² − 2x + x − 2)(x + 3)

= (x² − x − 2)(x + 3)

= x(x² − x − 2) + 3(x² − x − 2)

= x³ − x² − 2x + 3x² − 3x − 6

= x³ + (−x² + 3x²) +  (−2x − 3x) − 6

= x³ + 2x² − 5x − 6 (2)

Khi đó: A = (x − 1)(x + 2)(x − 3) − (x + 1)(x − 2)(x + 3) = (1) − (2)

= (x³ − 2x² − 5x + 6) − (x³ + 2x² − 5x − 6)

= x³ − 2x² − 5x + 6 − x³ − 2x² + 5x + 6

= (x³ − x³) + (−2x² − 2x²) + (−5x + 5x) + (6 + 6)

= −4x² + 12.

b) B = (x − 1)(x + 1)( x² + 1)(x⁴ +1) − x⁸

Với M là một biểu thức tùy ý, ta có:

(M − 1)(M + 1) = M² − M + M − 1 hay (M − 1)(M + 1) = M² − 1  (1)

Từ đó, ta có:

(x − 1)(x + 1)  (áp dụng (1) với M = x)

(x² − 1)(x² + 1) = (x²)² − 1 = x⁴ − 1  (áp dụng (1) với M = x²)

(x⁴ − 1)(x⁴ + 1) = (x⁴)² − 1 = x⁸ − 1 (áp dụng (1) với M = x⁴).

Sử dụng các kết quả trên, ta được:

(x − 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)

= $\left[(x-1)(x+1)\right]$ (x² +1)(x⁴ + 1)

= (x² − 1)(x² + 1)(x⁴  + 1)

= $\left[(x^2-1)(x^2+1)\right]$ (x⁴ + 1)

= (x⁴ − 1)(x⁴ + 1)

= x⁸ − 1.

Vậy B = (x − 1)(x + 1)( x² + 1)(x⁴ +1) − x⁸ = x⁸ – 1 − x⁸ = −1.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải SBT Toán 7 trang 35 Tập 2