Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Vẽ BE vuông góc với CD tại E

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài 96 trang 97 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Vẽ BE vuông góc với CD tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BE; K là hình chiếu của I trên BC.

a) Chứng minh ba điểm D, I, K thẳng hàng.

b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để I là trọng tâm của tam giác BCD.

Lời giải

a) Xét tam giác BCD có I là giao điểm của hai đường cao CA và BE nên I là trực tâm của tam giác DBC.

Suy ra DI ⊥ BC.

Mặt khác, IK ⊥ BC (giả thiết).

Do đó đường cao DI đi qua K nên ba điểm D, I, K thẳng hàng.

Vậy ba điểm D, I, K thẳng hàng.

b) Xét $∆$CDA và $∆$CBA có:

$\widehat{CAD}=\widehat{CAB}\left(={90}^o\right)$,

CA là cạnh chung,

AD = AB (giả thiết)

Do đó $∆$CDA = $∆$CBA (hai cạnh góc vuông)

Suy ra CD = CB (hai cạnh tương ứng) (1)

Tam giác BCD có I là trọng tâm của tam giác nên BE là đường trung tuyến của tam giác.

Do đó CE = DE.

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có $∆$BDE = $∆$BCE (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BD = BC (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có BC = CD = DB nên tam giác BCD là tam giác đều.

Do đó $\widehat{DBC}=60°$ hay $\widehat{ABC}=60°$

Vậy điều kiện của tam giác ABC để I cũng là trọng tâm của tam giác BCD là tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}=60°$.

*Phương pháp giải:

a) Chứng minh bằng cách đi qua trực tâm và cùng vuông góc vs BC

Nếu đoạn thẳng AB ⊥ a; đoạn thẳng AC ⊥ a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Chỉ có 1 và chỉ 1 một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)

Hoặc sử dụng tính chất A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .(nằm trong chương trình toán học lớp 7)

b)Suử dụng hai tam giác bằng nhau để suy ra BCD đều suy ra điều cần chứng minh

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng

2. Mối quan hệ

3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đó phân biệt và cùng nằm trên một đường thẳng.

Chỉ có duy nhất 1 và chỉ một đường thẳng đi qua 3 điểm bất kì

3. Các phương pháp

Phương pháp 1: Áp dụng tính chất góc bẹt

Chọn một điểm D bất kì: nếu ∠ABD + ∠DBC = 180 độ thì ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng

Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-cơ-lit

Cho 3 điểm A, B, C và 1 đường thẳng a. Nếu AB // a và AC // a thì ta có thể khẳng định ba điểm A; B; C thẳng hàng. (dựa trên cơ sở tiên đề Ơ-cơ-lít trong chương trình Toán lớp 7)

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc

Nếu đoạn thẳng AB ⊥ a; đoạn thẳng AC ⊥ a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Chỉ có 1 và chỉ 1 một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)

Hoặc sử dụng tính chất A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .(nằm trong chương trình toán học lớp 7)

Phương pháp 4: Sử dụng tính duy nhất tia phân giác

Nếu 2 tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ta có thể khẳng định 3 điểm O, A, B thẳng hàng

Cơ sở lý thuyết phương pháp trên: Một góc chỉ có một và chỉ một đường phân giác

* Hoặc : Hai tia OA và OB nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ta có ∠xOA = ∠xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

Phương pháp 5: Sử dụng tính chất đường trung trực

Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng BD, điểm K’ là giao điểm của 2 đoạn thẳng BD và AC. Nếu điểm K’ là trung điểm BD và K’ trùng K. Từ đó ta có thể kết luận 3 điểm A, K, C thẳng hàng.

(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất 1 trung điểm)

Phương pháp 6: Sử dụng tính chất các đường đồng quy

Chứng minh 3 điểm thuộc các đường đồng quy của tam giác.

Ví dụ: Chứng minh điểm E là trọng tâm tam giác ABC và đoạn thẳng AM là trung tuyến của góc A suy ra 3 điểm A, M, H thẳng hàng.

Bên cạnh đó, các em học sinh hoàn toàn có thể vận dụng cho tất cả các đường đồng quy khác của tam giác như 3 đường cao, 3 đường phân giác hoặc 3 đường trung trực trong tam giác.

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp vectơ

Ta sử dụng tính chất của 2 vectơ có cùng phương để có thể chứng minh có đường thẳng đi qua cả 3 điểm (tức là 3 điểm thẳng hàng)

Ví dụ: Chứng minh vectơ AB và vectơ AC có cùng phương, hay vectơ CA và vectơ CB, hay vectơ AB vectơ và vectơ BC có cùng phương thì ta có thể kết luận 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Xem thêm

Các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng