Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90°. Lấy hai điểm M, N nằm ngoài tam giác ABC sao cho MA vuông góc với AB

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 5. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh

Bài 36* trang 78 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90°. Lấy hai điểm M, N nằm ngoài tam giác ABC sao cho MA vuông góc với AB, NA vuông góc với AC và MA = AB, NA = AC. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BN với AC, MC (Hình 24).

 

Chứng minh:

a) ∆AMC = ∆ABN;

b) BN vuông góc với CM.

Lời giải

a) Ta có:

$\widehat{MAC}=\widehat{MAB}+\widehat{BAC}=90°+\widehat{BAC}$

$\widehat{NAB}=\widehat{NAC}+\widehat{BAC}=90°+\widehat{BAC}$

Suy ra: $\widehat{MAC}=\widehat{NAB}$.

Xét $∆$AMC và $∆$ABN có:

MA = AB (giả thiết),

$\widehat{MAC}=\widehat{BAN}$ (chứng minh trên),

AC = AN (giả thiết)

Suy ra ∆AMC = ∆ABN (c.g.c).

Vậy ∆AMC = ∆ABN.

b) Do ∆AMC = ∆ABN (chứng minh câu a)

Suy ra $\widehat{ACM}=\widehat{ANB}$ (hai góc tương ứng).

Mặt khác, $\widehat{KIC}+\widehat{AIN}$ (đối đỉnh).

Suy ra $\widehat{ACM}+\widehat{KIC}=\widehat{ANB}+\widehat{AIN}$.

Xét $∆$AIN vuông tại A có: $\widehat{ANI}+\widehat{AIN}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Hay $\widehat{ANB}+\widehat{AIN}={90}^o$

Do đó $\widehat{ACM}+\widehat{KIC}=90°$ hay $\widehat{ICK}+\widehat{KIC}=90°$

Xét DKIC, có: $\widehat{ICK}+\widehat{KIC}+\widehat{IKC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\widehat{IKC}=180°-\left(\widehat{ICK}+\widehat{KIC}\right)=180°-90°=90°$.

Do đó BN ⊥ MC.

Vậy BN ⊥ MC.