Cho tam giác ABC có góc A = 110 độ và góc B = góc C. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho góc ADC = 105 độ

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 2. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác

Bài 16 trang 71 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=110°$ và $\widehat{B}=\widehat{C}$. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho $\widehat{ADC}=105°$. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Chứng minh:

a) AE < CE;

b) EC < BC < BE.

Lời giải

 

• Xét $∆$ACB có: $\widehat{BAC}+\widehat{BCA}+\widehat{B}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{BAC}=110°,$ $\widehat{B}=\widehat{ACB}$ (giả thiết)

Suy ra $\widehat{B}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-110°}{2}=35°$.

• Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{CAE}=180°-\widehat{BAC}=180°-110°=70°$.

• Do AD // EC (giả thiết) nên $\widehat{ADC}+\widehat{ECD}={180}^o$ (hai góc trong cùng phía).

Suy ra $\widehat{ECD}={180}^o-\widehat{ADC}={180}^o-{105}^o={75}^o.$

Lại có $\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=\widehat{ECD}$ (hai góc kề nhau)

Do đó $\widehat{ACE}=\widehat{ECD}-\widehat{ACB}=75°-{35}^o=40°.$

• Trong $∆$ACE có: $\widehat{ACE}<\widehat{CAE}$ (do 40° < 70°) 

Do đó AE < CE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy AE < CE.

b) Xét $∆$EBC có: $\widehat{E}+\widehat{BCE}+\widehat{B}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{BCE}=75°,\widehat{B}=35°$

Suy ra $\widehat{E}=180°-\widehat{B}-\widehat{BCE}=180°-35°-75°=70°$

Trong tam giác BCE có: $\widehat{B}<\widehat{E}<\widehat{BCE}$ (do 35° < 70° < 75°).

Nên EC < BC < BE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy EC < BC < BE.