Cho đường thẳng d: y=(m-2)x+2 với m khác 2. a) Tìm giá trị của m để đường thẳng d

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)

Bài 27 trang 62 SBT Toán 8 Tập 1: Cho đường thẳng $d:y=\left(m-2\right)x+2$ với $m\ne 2$.

a) Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ cùng với các trục $Ox,Oy$ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.

b) Chứng tỏ rằng khi giá trị của $m$ thay đổi thì tập hợp các đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải:

a)  Với $y=0$ thì $x=\frac{-2}{m-2}$, ta được điểm $A\left(\frac{-2}{m-2};0\right)$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với trục $Ox$. Khi đó $OA=\left|\frac{-2}{m-2}\right|$.

Với $x=0$ thì $y=2$, ta được điểm $B\left(0;2\right)$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với trục $Oy$. Khi đó $OB=2$.

Ta có diện tích của tam giác $OAB$ bằng 2 nên $\frac{1}{2}.OA.OB=2$ hay $OA.OB=4$.

Suy ra $\left|\frac{-2}{m-2}\right|.2=4$ hay $\left|\frac{-2}{m-2}\right|=2$. Do đó $\frac{-2}{m-2}=2$ hoặc $\frac{-2}{m-2}=-2$.

Vậy $m=1$ hoặc $m=3$ (thỏa mãn) thì đường thẳng $d$ cùng với các trục $Ox,Oy$ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.

b)  Từ câu a, ta có đường thẳng $d$ luôn đi qua điểm $B\left(0;2\right)$ với mọi giá trị của $m$. Vậy khi giá trị của $m$ thay đổi thì tập hợp các đường thẳng $d$ luôn đi qua điểm $B\left(0;2\right)$ cố định.