Tính các tổng sau (không sử dụng máy tính cầm tay

Giải SBT Toán 10 Cánh diều Bài 4: Nhị thức Newton

Bài 37* trang 16 SBT Toán 10 Tập 2:

Tính các tổng sau (không sử dụng máy tính cầm tay):

a) $T=C_4^0+\frac{1}{2}{C}_4^1+\frac{1}{3}{C}_4^2+\frac{1}{4}{C}_4^3+\frac{1}{5}{C}_4^4$ ;

b) $S=C_6^1+2C_6^2+3C_6^3+4C_6^4+5C_6^5+6C_6^6$ .

Lời giải:

a) Áp dụng kết quả $\frac{1}{k+1}{C}_n^k=\frac{1}{n+1}{C}_{n+1}^{k+1}$  với 0 ≤ k ≤ n (chứng minh ở Bài 27a trang 14 SBT Toán 10 Tập 2), ta được:

$$\begin{gathered} T=1.C_4^0+\frac{1}{2}{C}_4^1+\frac{1}{3}{C}_4^2+\frac{1}{4}{C}_4^3+\frac{1}{5}{C}_4^4 \\ =\frac{1}{5}{C}_5^1+\frac{1}{5}{C}_5^2+\frac{1}{5}{C}_5^3+\frac{1}{5}{C}_5^4+\frac{1}{5}{C}_5^5 \\ =\frac{1}{5}\left(C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5\right) \\ =\frac{1}{5}\left[\left(C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5\right)-C_5^0\right] \\ =\frac{1}{5}\left[{\left(1+1\right)}^5-1\right]=\frac{31}{5} \end{gathered}$$

Vậy $T=\frac{31}{5}$ .

b) Áp dụng kết quả $k{C}_n^k=n{C}_{n-1}^{k-1}$  với 1 ≤ k ≤ n (chứng minh ở Bài 27b trang 14 SBT Toán 10 Tập 2), ta được:

$$\begin{gathered} S=1.C_6^1+2C_6^2+3C_6^3+4C_6^4+5C_6^5+6C_6^6 \\ =6C_{6-1}^{1-1}+6C_{6-1}^{2-1}+6C_{6-1}^{3-1}+6C_{6-1}^{4-1}+6C_{6-1}^{5-1}+6C_{6-1}^{6-1} \\ =6.\left(C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5\right) \\ =6.\left(C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4.1+C_5^2{.1}^3{.1}^2+C_5^3{.1}^2{.1}^3+C_5^4{\mathrm{.1.1}}^4+C_5^5{.1}^5\right) \end{gathered}$$

= 6.(1 + 1)⁵ = 6.2⁵ = 192.

Vậy S = 192.