25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 100 câu trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ nâng cao (P1)

Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB = 4a, đáy nhỏ CD = 2a, đường cao AD = 3a; I là trung điểm của AD. Câu nào sau đây sai?

A. $\vec{A B} . \vec{D C} = 8 a^{2}$

B. $\vec{A D} . \vec{C D} = 0$

C. $\vec{A D} . \vec{A B} = 0$

D. $\vec{D A} . \vec{D B} = 0$

Xem đáp án

Chọn D.

Phương án A: = AB.DC.cos0⁰

= 8a² nên loại A.

Phương án B: suy ra nên loại B.

Phương án C: suy ra nên loại C.

Phương án D: không vuông góc với suy ra nên chọn D.

Câu 3:

14/07/2024

Cho 2 vec tơ $\vec{a} (a_{1}; a_{2}); v à \vec{b} (b_{1}; b_{2})$ . Biểu thức sai là:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn C.

Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng nên loại A.

Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ nên loại B.

Phương án C: nên chọn C.

Câu 4:

Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sai ?

A. sin( A + B - 2C) = sin3C

B.

C. sin( A + B) = sinC

D.

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: A + B + C = 180⁰

Câu 5:

Cho A(2; 5); B(1; 3) và C(5; -1). Tìm tọa độ điểm K sao cho

A. (-4; -4).

B. (-4; 5).

C. (5; -4).

D. (-5; -4).

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi K(x; y).

Khi đó

Theo đầu bài nên

Câu 6:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và H là trung điểm BC. Tính $\vec{A H} . \vec{C A}$

A. $\frac{3 a^{2}}{4}$

B. - $\frac{3 a^{2}}{4}$

C. $\frac{3 a^{2}}{2}$

D. - $\frac{3 a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

Do đó:

Câu 7:

Cho tam giác đều ABC cạnh a = 2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có :

Ta đi xét các phương án:

Phương án A: nên

Loại A.

Phương án B:

Loại B.

Phương án C:

Chọn C.

Câu 8:

17/07/2024

Cho tam giác ABC là tam giác đều. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn D.

+ Phương án A: Do

Loại A.

+ Phương án B: và nên

Loại B.

+ Phương án C: Do và không cùng phương.

Loại C.

+ Phương án D: AB = BC = CA

Câu 9:

Tam giác ABC có a = 6; $b = 4 \sqrt{2}$ ; c = 2; gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 3 . Độ dài đoạn AM bằng bao nhiêu ?

A. 5

B. 9

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Chọn C.

Trong tam giác ABC có a = 6 nên BC = 6 mà BM = 3

suy ra M là trung điểm BC

Suy ra:

Câu 10:

Tính giá trị biểu thức P = cos30⁰.cos60⁰ – sin30⁰.sin60⁰

A. $\sqrt{3}$

B. 2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn D.

Vì 30⁰ và 60⁰ là hai góc phụ nhau nên

Do đó: P = cos30⁰.cos60⁰- sin30⁰.sin60⁰= cos30⁰.cos60⁰- cos30⁰.cos60⁰= 0.

Câu 11:

Tính giá trị biểu thức P = sin30⁰.cos60⁰ + cos30⁰.sin60⁰

A. 1

B. 0

C. 2

D. $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn A.

Vì 30⁰ và 60⁰ là hai góc phụ nhau nên

Suy ra: P = sin30⁰.cos60⁰+ cos30⁰.sin60⁰= cos60⁰.cos60⁰+ sin60⁰.cos60⁰= 1.

Câu 12:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 12; M là trung điểm AC. Tính $\vec{B M} . \vec{C A}$

A. 12

B. -36

C. 36

D. -72

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: AM = 6; (2 vecto ngược hướng).

(do AB và CA vuông góc với nhau).

Câu 13:

19/07/2024

Cho tứ giác lồi ABCD có AD = 6cm. Đặt $\vec{v} = \vec{A B} - \vec{D C} - \vec{C B}$ . Tính $\vec{v} . \vec{A D}$

A. 18

B. 32

C. 36

D. 40

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có :

suy ra

Câu 14:

Cho tam giác ABC có cạnh BC = 6cm và đường cao AH; H ở trên cạnh BC sao cho BH = 2HC. Tính $\vec{A B} . \vec{B C}$

A. -24

B. 24

C. 16

D. -12

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có BH = 2HC nên BH = 4

Câu 15:

14/07/2024

Cho tam giác ABC có A(1; 2); B(-1; 1) và C(5; -1).Tính cosA.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có suy ra

Câu 16:

Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập

Cho tam giác đều ABC cạnh a, với các đường cao AH và BK vẽ HI vuông góc với AC. Câu nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D. Cả ba câu trên.

Xem đáp án

Chọn D.

Phương án A: nên

nên đẳng thức ở phương án A là đúng.

Phương án B: nên

nên đẳng thức ở phương án B là đúng.

Phương án C:

Do đó: nên phương án C là đúng.

Câu 17:

14/07/2024

Cho tam giác đều ABC cạnh a; với các đường cao AH; BK vẽ HI ⊥ AC. Câu nào sau đây đúng?

A.

B .

C.

D.

Xem đáp án

Chọn C.

Phương án A: do

nên loại A

Phương án B: do = CB. CK.cos0⁰

= a²/2 nên loại B và D

Phương án C: do

Chọn C.

Câu 18:

19/07/2024

Cho 2 vectơ $\vec{a}; \vec{b}$ có $|\vec{a}| = 4; |\vec{b}| = 5; (\vec{a}; \vec{b}) = 120^{o}$ . Tính $|\vec{a} + \vec{b}|$

C. 21

D. 61

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{{(\vec{a} + \vec{b})}^{2}} = \sqrt{{\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} \vec{b} + {\vec{b}}^{2}} = \sqrt{{|\vec{a}|}^{2} + 2 \vec{a} \vec{b} + {|\vec{b}|}^{2}} = \sqrt{4^{2} + 2.4.5 . (- 0, 5) + 5^{2}} = \sqrt{61}$

Câu 19:

12/10/2024

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a; BC = 2a và G là trọng tâm.

Tính giá trị của biểu thức $\vec{G A} . \vec{G B} + \vec{G B} . \vec{G C} + \vec{G C} . \vec{G A}$

A. -3a²

B. -2a²

C. -4 a²/3

D. 2a²

Xem đáp án

Đáp án đúng: C.

*Phương pháp giải

- Sử dụng quy tắc trọng tâm trong tam giác

- Sử dụng tính chất về tam giác đều: GA = 2/3 AM

- Tương tự tìm ra GB, GC. sau đó thay vào biểu thức của trọng tâm để tính ra giá trị

*Lời giải

Vì nên

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Tam giác ABM đều nên

Theo định lý Pitago ta có:

Suy ra

*Lý thuyết về tích vô hướng và có hướng của 2 vectơ:

Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ được xác định bởi công thức:

$\vec{a} . \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

Ứng dụng của tích vô hướng

+ Cho vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , khi đó độ dài của vectơ $\vec{a}$ được tính theo công thức:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{2}^{2}}$

+ Cho hai điểm $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ $\vec{A B}$ . Do đó ta có

+ Cho vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ . Khi đó góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được tính theo công thức:

$\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} . \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}}}$ (với $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$ )

+ Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ . Khi đó: $\vec{a} . \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$

Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ . Tích có hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b},$ kí hiệu là $[\vec{a}, \vec{b}]$ , được xác định bởi

$[\vec{a}, \vec{b}] = (|\begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix}|; |\begin{matrix} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{matrix}|; |\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix}|) = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}; a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}; a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$

Tính chất của tích có hướng:

$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Bài toán về tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ

80 câu trắc nghiệm Vectơ cơ bản

Câu 20: