Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a; BC = 2a và G là trọng tâm.

Tính giá trị của biểu thức $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}$

Đáp án đúng: C.

*Phương pháp giải

- Sử dụng quy tắc trọng tâm trong tam giác 

- Sử dụng tính chất về tam giác đều: GA = 2/3 AM 

- Tương tự tìm ra GB, GC. sau đó thay vào biểu thức của trọng tâm để tính ra giá trị

*Lời giải

Vì  nên

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Tam giác ABM đều nên 

Theo định lý Pitago ta có:

Suy ra

*Lý thuyết về tích vô hướng và có hướng của 2 vectơ:

Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$ được xác định bởi công thức:

 

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

Ứng dụng của tích vô hướng

+ Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$, khi đó độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ được tính theo công thức:

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_2^2}$

+ Cho hai điểm $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$. Do đó ta có

+ Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính theo công thức:

$\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$(với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$)

+ Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Khi đó:

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$

 Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b},$ kí hiệu là $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$, được xác định bởi

$\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|\right)=\left(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)$

Tính chất của tích có hướng:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập

Bài toán về tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ

80 câu trắc nghiệm Vectơ cơ bản