Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh hai số a và b, biết: a) a=(căn 3 -1)^(căn 2)

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Bài 12 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh hai số a và b, biết:

Lời giải:

a) Do $0<\sqrt{3}-1<1$ và $\sqrt{2}<\sqrt{3}$ nên ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^{\sqrt{2}}>{\left(\sqrt{3}-1\right)}^{\sqrt{3}}.$

Suy ra: a > b.

b) Ta có: $a={\left(\sqrt{2}-1\right)}^{\pi }={\left[\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1}\right]}^{\pi }$

$={\left(\frac{2-1}{\sqrt{2}+1}\right)}^{\pi }={\left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right)}^{\pi }={\left(\sqrt{2}+1\right)}^{-\pi }.$

Do $\sqrt{2}+1>1$ và –π < e nên ta có:

${\left(\sqrt{2}+1\right)}^{-\pi }<{\left(\sqrt{2}+1\right)}^e\iff {\left(\sqrt{2}-1\right)}^{\pi }<{\left(\sqrt{2}+1\right)}^e.$

Suy ra: a < b.

c) Ta có: $a=\frac{1}{3^{400}}={\left(\frac{1}{3^4}\right)}^{100}={\left(\frac{1}{81}\right)}^{100}$ và $b=\frac{1}{4^{300}}={\left(\frac{1}{4^3}\right)}^{100}={\left(\frac{1}{64}\right)}^{100}.$

Do 100 > 0 và $\frac{1}{81}<\frac{1}{64}$ nên ${\left(\frac{1}{81}\right)}^{100}<{\left(\frac{1}{64}\right)}^{100}\iff \frac{1}{3^{400}}<\frac{1}{4^{300}}.$

Suy ra: a < b.

d) Ta có:

$a=\frac{8}{\sqrt[4]{27}}=\frac{2^3}{\sqrt[4]{3^3}}=\frac{{\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3}{\sqrt[4]{3^3}}$$=\frac{\sqrt[4]{{16}^3}}{\sqrt[4]{3^3}}=\frac{{16}^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{3}{4}}}={\left(\frac{16}{3}\right)}^{\frac{3}{4}}.$

Do $\frac{16}{3}>\frac{\sqrt{3}}{2}>0$ và $\frac{3}{4}>0$ nên ${\left(\frac{16}{3}\right)}^{\frac{3}{4}}>{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{\frac{3}{4}}\iff \frac{8}{\sqrt[4]{27}}>{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{\frac{3}{4}}.$

Suy ra: a > b.