Giải Toán 12 trang 86 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 trang 86 Tập 1

Bài 6 trang 86 Toán 12 Tập 1: Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau:

Thời gian (phút)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)	[10; 11)
Số học sinh trường X	8	10	13	10	9
Số học sinh trường Y	4	12	17	14	3

a) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường nào viết nhanh hơn?

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Ta có bảng sau:

Thời gian (phút)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)	[10; 11)
Giá trị đại diện	6,5	7,5	8,5	9,5	10,5
Số học sinh trường X	8	10	13	10	9
Số học sinh trường Y	4	12	17	14	3

Cỡ mẫu n_X = 8 + 10 + 13 + 10 + 9 = 50, n_Y = 4 + 12 + 17 + 14 + 3 = 50.

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường X là:

${\overline{x}}_X=\frac{8\cdot 6,5+10\cdot 7,5+13\cdot 8,5+10\cdot 9,5+9\cdot 10,5}{50}=8,54$.

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường Y là:

${\overline{x}}_Y=\frac{4\cdot 6,5+12\cdot 7,5+17\cdot 8,5+14\cdot 9,5+3\cdot 10,5}{50}=8,5$.

Vì ${\overline{x}}_X=8,54>{\overline{x}}_Y=8,5$ nên nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường Y viết nhanh hơn.

b)

Xét mẫu số liệu của học sinh trường X:

Gọi x₁; x₂; …; x₅₀ là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường X được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₈ ∈ [6; 7), x₉; …; x₁₈ ∈ [7; 8), x₁₉; …; x₃₁ ∈ [8; 9),

   x₃₂; …; x₄₁ ∈ [9; 10), x₄₂; …; x₅₀ ∈ [10; 11).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₃ ∈ [7; 8).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

Q₁ = 7 + $\frac{\frac{50}{4}-8}{10}$.(8-7) = 7,45.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₃₈ ∈ [9; 10).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

Q₃ = 9 + $\frac{\frac{3\cdot 50}{4}-\left(8+10+13\right)}{10}$.(10-9) = 9,65.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 9,65 – 7,45 = 2,2.

• Xét mẫu số liệu của học sinh trường Y:

Gọi y₁; y₂; …; y₅₀ là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường Y được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y₁; …; y₄ ∈ [6; 7), y₅; …; y₁₆ ∈ [7; 8), y₁₇; …; y₃₃ ∈ [8; 9),

   y₃₄; …; y₄₇ ∈ [9; 10), y₄₈; y₄₉; y₅₀ ∈ [10; 11).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y₁₃ ∈ [7; 8).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

${Q^{\text{'}}}_1=7+\frac{\frac{50}{4}-4}{12}\cdot \left(8-7\right)=\frac{185}{24}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y₃₈ ∈ [9; 10).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

${Q^{\text{'}}}_3=9+\frac{\frac{3\cdot 50}{4}-\left(4+12+17\right)}{14}\cdot \left(10-9\right)=\frac{261}{28}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = $\frac{261}{28}-\frac{185}{24}=\frac{271}{168}\approx 1,61$ .

Vì ∆_Q = 2,2 > ∆'_Q ≈ 1,61 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

c)

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

$S_X^2=\frac{1}{50}$[8 ∙ (6,5)² + 10 ∙ (7,5)² + 13 ∙ (8,5)² + 10 ∙ (9,5)² + 9 ∙ (10,5)²] – (8,54)²

= 1,7584.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

$S_X=\sqrt{S_X^2}=\sqrt{1,7584}\approx 1,33$.

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

$S_Y^2=\frac{1}{50}$[4 ∙ (6,5)² + 12 ∙ (7,5)² + 17 ∙ (8,5)² + 14 ∙ (9,5)² + 3 ∙ (10,5)²] – (8,5)²

= 1,08.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

$S_Y=\sqrt{S_Y^2}=\sqrt{1,08}\approx 1,04$.

Vì S_X ≈ 1,33 > S_Y ≈ 1,04 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

Bài 7 trang 86 Toán 12 Tập 1: Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.

(Nguồn: Tổng cục Thống kê)

a) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương nào đồng đều hơn?

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương nào đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Cỡ mẫu n = 20.

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁ ∈ [130; 160), x₂ ∈ [160; 190), x₃ ∈ [190; 220),

   x₄; …; x₁₁ ∈ [220; 250), x₁₂; …; x₁₈ ∈ [250; 280), x₁₉; x₂₀ ∈ [280; 310).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₅ + x₆) ∈ [220; 250).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₁ = 220 + $\frac{\frac{20}{4}-\left(1+1+1\right)}{8}$.(250-220) = 227,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₁₅ + x₁₆) ∈ [250; 280).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₃ = 250 + $\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(1+1+1+8\right)}{7}$.(280-250) = $\frac{1870}{7}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{1870}{7}$ – 227,5 ≈ 39,64.

Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Gọi y₁; y₂; …; y₂₀ là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Quy Nhơn được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y₁ ∈ [160; 190), y₂; y₃ ∈ [190; 220), y₄; …; y₇ ∈ [220; 250),

   y₈; …; y₁₇ ∈ [250; 280), y₁₈; y₁₉; y₂₀ ∈ [280; 310).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (y₅ + y₆) ∈ [220; 250).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_1=220+\frac{\frac{20}{4}-\left(1+2\right)}{4}\cdot \left(250-220\right)=235$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$(y₁₅ + y₁₆) ∈ [250; 280).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_3=250+\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(1+2+4\right)}{10}\cdot \left(280-250\right)=274$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = 274 – 235 = 39.

Vì ∆_Q ≈ 39,64 > ∆'_Q = 39 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

b) Ta có bảng sau:

Số giờ nắng	[130; 160)	[160; 190)	[190; 220)	[220; 250)	[250; 280)	[280; 310)
Giá trị đại diện	145	175	205	235	265	295
Số năm ở Nha Trang	1	1	1	8	7	2
Số năm ở Quy Nhơn	0	1	2	4	10	3

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_N=\frac{1\cdot 145+1\cdot 175+1\cdot 205+8\cdot 235+7\cdot 265+2\cdot 295}{20}=242,5$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N^2=\frac{1}{20}$(1 ∙ 145² + 1 ∙ 175² + 1 ∙ 205² + 8 ∙ 235² + 7 ∙ 265² + 2 ∙ 295²) – (242,5)²

= 1248,75.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N=\sqrt{S_N^2}=\sqrt{1248,75}\approx 35,34$.

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_Q=\frac{1\cdot 175+2\cdot 205+4\cdot 235+10\cdot 265+3\cdot 295}{20}=253$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_Q^2=\frac{1}{20}$(1 ∙ 175² + 2 ∙ 205² + 4 ∙ 235² + 10 ∙ 265² + 3 ∙ 295²) – 253² = 936.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_Q=\sqrt{S_Q^2}=\sqrt{936}\approx 30,59$.

Vì S_N ≈ 35,54 > S_N ≈ 30,59 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

Bài 8 trang 86 Toán 12 Tập 1: Biểu đồ sau mô tả kết quả điều tra về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A và B.

a) Hãy xác định giá trị đại điện cho mỗi nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?

c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Giá trị đại diện của nhóm [5; 6) là 5,5.

Giá trị đại diện của nhóm [6; 7) là 6,5.

Giá trị đại diện của nhóm [7; 8) là 7,5.

Giá trị đại diện của nhóm [8; 9) là 8,5.

Giá trị đại diện của nhóm [9; 10) là 9,5.

Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

b)

• Xét mẫu số liệu của trường A:

Cỡ mẫu n_A = 4 + 5 + 3 + 4 + 2 = 18.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₈ là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₄ ∈ [5; 6), x₅; …; x₉ ∈ [6; 7), x₁₀; x₁₁; x₁₂ ∈ [7; 8),

   x₁₃; …; x₁₆ ∈ [8; 9), x₁₇; x₁₈ ∈ [9; 10).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₅ ∈ [6; 7).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₁ = 6 +$\frac{\frac{18}{4}-4}{5}$.(7-6) = 6,1.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₁₄ ∈ [8; 9).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₃ = 8 + $\frac{\frac{3\cdot 18}{4}-\left(4+5+3\right)}{4}$.(9-8) = 8,375.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 8,375 – 6,1 = 2,275.

• Xét mẫu số liệu của trường B:

Cỡ mẫu n_B = 2 + 5 + 4 + 3 + 1 = 15.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₅ là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường B được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂ ∈ [5; 6), x₃; …; x₇ ∈ [6; 7), x₈; …; x₁₁ ∈ [7; 8),

   x₁₂; x₁₃; x₁₄ ∈ [8; 9), x₁₅ ∈ [9; 10).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₄ ∈ [6; 7).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_1=6+\frac{\frac{15}{4}-2}{5}\cdot \left(7-6\right)=6,35$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₁₂ ∈ [8; 9).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_3=8+\frac{\frac{3\cdot 15}{4}-\left(2+5+4\right)}{3}\cdot \left(9-8\right)=\frac{97}{12}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = $\frac{97}{12}$ – 6,35 = $\frac{26}{15}\approx$1,73 .

Vì ∆_Q = 2,275 > ∆'_Q ≈ 1,73 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.

c)

• Xét mẫu số liệu của trường A:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_A=\frac{4\cdot 5,5+5\cdot 6,5+3\cdot 7,5+4\cdot 8,5+2\cdot 9,5}{18}=\frac{65}{9}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_A^2=\frac{1}{18}$[4 ∙ (5,5)² + 5 ∙ (6,5)² + 3 ∙ (7,5)² + 4 ∙ (8,5)² + 2 ∙ (9,5)²] – ${\left(\frac{65}{9}\right)}^2$

= $\frac{569}{324}$ .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_A=\sqrt{S_A^2}=\sqrt{\frac{569}{324}}\approx 1,33$.

• Xét mẫu số liệu của trường B:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_B=\frac{2\cdot 5,5+5\cdot 6,5+4\cdot 7,5+3\cdot 8,5+1\cdot 9,5}{15}=\frac{217}{30}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_B^2=\frac{1}{15}$[2 ∙ (5,5)² + 5 ∙ (6,5)² + 4 ∙ (7,5)² + 3 ∙ (8,5)² + 1 ∙ (9,5)²] – ${\left(\frac{217}{30}\right)}^2$

= $\frac{284}{225}$ .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_B=\sqrt{S_B^2}=\sqrt{\frac{284}{225}}\approx 1,12$.

Vì S_A ≈ 1,33 > S_B ≈ 1,12 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải Toán 12 trang 84 Tập 1

Giải Toán 12 trang 85 Tập 1

Giải Toán 12 trang 86 Tập 1