Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 3 trang 84

Bài 4 trang 85 Toán 12 Tập 1: Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau:

Độ dài quãng đường (km)	[50; 100)	[100; 150)	[150; 200)	[200; 250)	[250; 300)
Số ngày	5	10	9	4	2

Hãy xác định khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R = 300 – 50 = 250 (km).

Cỡ mẫu n = 5 + 10 + 9 + 4 + 2 = 30.

Gọi x₁; x₂; …; x₃₀ là mẫu số liệu gốc về độ dài quãng đường bác tài xế đã lái xe mỗi ngày trong một tháng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₅ ∈ [50; 100), x₆; …; x₁₅ ∈ [100; 150), x₁₆; …; x₂₄ ∈ [150; 200),

   x₂₅; …; x₂₈ ∈ [200; 250), x₂₉; x₃₀ ∈ [250; 300).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₈ ∈ [100; 150).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₁ = 100 + $\frac{\frac{30}{4}-5}{10}$.(150-100) = 112,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₂₃ ∈ [150; 200).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₃ = 150 +$\frac{\frac{3\cdot 30}{4}-\left(5+10\right)}{9}$.(200-150) = $\frac{575}{3}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{575}{3}$ – 112,5 = ≈ 79,17.

Ta có bảng sau:

Độ dài quãng đường (km)	[50; 100)	[100; 150)	[150; 200)	[200; 250)	[250; 300)
Giá trị đại diện	75	125	175	225	275
Số ngày	5	10	9	4	2

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{5\cdot 75+10\cdot 125+9\cdot 175+4\cdot 225+2\cdot 275}{30}=155$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S² = $\frac{1}{30}$ (5 ∙ 75² + 10 ∙ 125² + 9 ∙ 175² + 4 ∙ 225² + 2 ∙ 275²) – 155² = 3 100.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{3100}=10\sqrt{31}\approx 55,68$.