Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ sau

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 3 trang 84

Bài 5 trang 85 Toán 12 Tập 1: Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ sau:

a) Có bao nhiêu thửa ruộng đã được khảo sát?

b) Lập bảng tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm tương ứng của mẫu số liệu trên.

c) Hãy xác định khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

a) Số thửa ruộng được khảo sát là: n = 3 + 4 + 6 + 5 + 5 + 2 = 25.

b) Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu như sau:

Năng suất (tấn/ha)	[5,5; 5,7)	[5,7; 5,9)	[5,9; 6,1)	[6,1; 6,3)	[6,3; 6,5)	[6,5; 6,7)
Số thửa ruộng	3	4	6	5	5	2

Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu:

Giá trị đại diện (tấn/ha)	5,6	5,8	6,0	6,2	6,4	6,6
Tần số tương đối	3	4	6	5	5	2

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là:

R = 6,7 – 5,5 = 1,2 (tấn/ha).

Cỡ mẫu n = 25.

Gọi x₁; x₂; …; x₂₅ là mẫu số liệu gốc về năng suất của một số thửa ruộng được khảo sát được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂; x₃ ∈ [5,5; 5,7), x₄; …; x₇ ∈ [5,7; 5,9), x₈; …; x₁₃ ∈ [5,9; 6,1),

   x₁₃; …; x₁₈ ∈ [6,1; 6,3), x₁₉; …; x₂₃ ∈ [6,3; 6,5), x₂₄; x₂₅ ∈ [6,5; 6,7).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₆ + x₇) ∈ [5,7; 5,9).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₁ = 5,7 + $\frac{\frac{25}{4}-3}{4}$.(5,9-5,7) = 5,8625.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₁₉ + x₂₀) ∈ [6,3; 6,5).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₃ = 6,3 + $\frac{\frac{3\cdot 25}{4}-\left(3+4+6+5\right)}{5}$.(6,5-6,3) = 6,33.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 6,33 – 5,8625 = 0,4675.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 5,6+4\cdot 5,8+6\cdot 6,0+5\cdot 6,2+5\cdot 6,4+2\cdot 6,6}{25}=6,088$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S² = $\frac{1}{25}$ [3 ∙ (5,6)² + 4 ∙ (5,8)² + 6 ∙ (6,0)² + 5 ∙ (6,2)² + 5 ∙ (6,4)² + 2 ∙ (6,6)²] – (6,088)²

= 0,086656.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{0,086656}\approx 0,29$.