Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 3 trang 84

Bài 7 trang 86 Toán 12 Tập 1: Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.

(Nguồn: Tổng cục Thống kê)

a) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương nào đồng đều hơn?

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương nào đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Cỡ mẫu n = 20.

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁ ∈ [130; 160), x₂ ∈ [160; 190), x₃ ∈ [190; 220),

   x₄; …; x₁₁ ∈ [220; 250), x₁₂; …; x₁₈ ∈ [250; 280), x₁₉; x₂₀ ∈ [280; 310).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₅ + x₆) ∈ [220; 250).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₁ = 220 + $\frac{\frac{20}{4}-\left(1+1+1\right)}{8}$.(250-220) = 227,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x₁₅ + x₁₆) ∈ [250; 280).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q₃ = 250 + $\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(1+1+1+8\right)}{7}$.(280-250) = $\frac{1870}{7}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{1870}{7}$ – 227,5 ≈ 39,64.

Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Gọi y₁; y₂; …; y₂₀ là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Quy Nhơn được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y₁ ∈ [160; 190), y₂; y₃ ∈ [190; 220), y₄; …; y₇ ∈ [220; 250),

   y₈; …; y₁₇ ∈ [250; 280), y₁₈; y₁₉; y₂₀ ∈ [280; 310).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (y₅ + y₆) ∈ [220; 250).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_1=220+\frac{\frac{20}{4}-\left(1+2\right)}{4}\cdot \left(250-220\right)=235$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$(y₁₅ + y₁₆) ∈ [250; 280).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\text{'}}}_3=250+\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(1+2+4\right)}{10}\cdot \left(280-250\right)=274$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = 274 – 235 = 39.

Vì ∆_Q ≈ 39,64 > ∆'_Q = 39 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

b) Ta có bảng sau:

Số giờ nắng	[130; 160)	[160; 190)	[190; 220)	[220; 250)	[250; 280)	[280; 310)
Giá trị đại diện	145	175	205	235	265	295
Số năm ở Nha Trang	1	1	1	8	7	2
Số năm ở Quy Nhơn	0	1	2	4	10	3

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_N=\frac{1\cdot 145+1\cdot 175+1\cdot 205+8\cdot 235+7\cdot 265+2\cdot 295}{20}=242,5$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N^2=\frac{1}{20}$(1 ∙ 145² + 1 ∙ 175² + 1 ∙ 205² + 8 ∙ 235² + 7 ∙ 265² + 2 ∙ 295²) – (242,5)²

= 1248,75.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N=\sqrt{S_N^2}=\sqrt{1248,75}\approx 35,34$.

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_Q=\frac{1\cdot 175+2\cdot 205+4\cdot 235+10\cdot 265+3\cdot 295}{20}=253$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_Q^2=\frac{1}{20}$(1 ∙ 175² + 2 ∙ 205² + 4 ∙ 235² + 10 ∙ 265² + 3 ∙ 295²) – 253² = 936.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_Q=\sqrt{S_Q^2}=\sqrt{936}\approx 30,59$.

Vì S_N ≈ 35,54 > S_N ≈ 30,59 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.