Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 3 trang 84

Bài 6 trang 86 Toán 12 Tập 1: Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau:

Thời gian (phút)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)	[10; 11)
Số học sinh trường X	8	10	13	10	9
Số học sinh trường Y	4	12	17	14	3

a) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường nào viết nhanh hơn?

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Ta có bảng sau:

Thời gian (phút)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)	[10; 11)
Giá trị đại diện	6,5	7,5	8,5	9,5	10,5
Số học sinh trường X	8	10	13	10	9
Số học sinh trường Y	4	12	17	14	3

Cỡ mẫu n_X = 8 + 10 + 13 + 10 + 9 = 50, n_Y = 4 + 12 + 17 + 14 + 3 = 50.

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường X là:

${\overline{x}}_X=\frac{8\cdot 6,5+10\cdot 7,5+13\cdot 8,5+10\cdot 9,5+9\cdot 10,5}{50}=8,54$.

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường Y là:

${\overline{x}}_Y=\frac{4\cdot 6,5+12\cdot 7,5+17\cdot 8,5+14\cdot 9,5+3\cdot 10,5}{50}=8,5$.

Vì ${\overline{x}}_X=8,54>{\overline{x}}_Y=8,5$ nên nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường Y viết nhanh hơn.

b)

Xét mẫu số liệu của học sinh trường X:

Gọi x₁; x₂; …; x₅₀ là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường X được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₈ ∈ [6; 7), x₉; …; x₁₈ ∈ [7; 8), x₁₉; …; x₃₁ ∈ [8; 9),

   x₃₂; …; x₄₁ ∈ [9; 10), x₄₂; …; x₅₀ ∈ [10; 11).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₃ ∈ [7; 8).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

Q₁ = 7 + $\frac{\frac{50}{4}-8}{10}$.(8-7) = 7,45.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₃₈ ∈ [9; 10).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

Q₃ = 9 + $\frac{\frac{3\cdot 50}{4}-\left(8+10+13\right)}{10}$.(10-9) = 9,65.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 9,65 – 7,45 = 2,2.

• Xét mẫu số liệu của học sinh trường Y:

Gọi y₁; y₂; …; y₅₀ là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường Y được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y₁; …; y₄ ∈ [6; 7), y₅; …; y₁₆ ∈ [7; 8), y₁₇; …; y₃₃ ∈ [8; 9),

   y₃₄; …; y₄₇ ∈ [9; 10), y₄₈; y₄₉; y₅₀ ∈ [10; 11).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y₁₃ ∈ [7; 8).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

${Q^{\text{'}}}_1=7+\frac{\frac{50}{4}-4}{12}\cdot \left(8-7\right)=\frac{185}{24}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y₃₈ ∈ [9; 10).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

${Q^{\text{'}}}_3=9+\frac{\frac{3\cdot 50}{4}-\left(4+12+17\right)}{14}\cdot \left(10-9\right)=\frac{261}{28}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = $\frac{261}{28}-\frac{185}{24}=\frac{271}{168}\approx 1,61$ .

Vì ∆_Q = 2,2 > ∆'_Q ≈ 1,61 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

c)

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

$S_X^2=\frac{1}{50}$[8 ∙ (6,5)² + 10 ∙ (7,5)² + 13 ∙ (8,5)² + 10 ∙ (9,5)² + 9 ∙ (10,5)²] – (8,54)²

= 1,7584.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

$S_X=\sqrt{S_X^2}=\sqrt{1,7584}\approx 1,33$.

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

$S_Y^2=\frac{1}{50}$[4 ∙ (6,5)² + 12 ∙ (7,5)² + 17 ∙ (8,5)² + 14 ∙ (9,5)² + 3 ∙ (10,5)²] – (8,5)²

= 1,08.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

$S_Y=\sqrt{S_Y^2}=\sqrt{1,08}\approx 1,04$.

Vì S_X ≈ 1,33 > S_Y ≈ 1,04 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.