Giải Toán 11 trang 115 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 11 trang 115 trong Bài 16: Giới hạn của hàm số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 115.

1 318 04/06/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 115

Luyện tập 3 trang 115 Toán 11 Tập 1: Tính $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{x + 1}$ .

Lời giải:

Ta có:

$\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{x + 1}$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (1 + \frac{2}{x^{2}})}}{x + 1}$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{x \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}{x (1 + \frac{1}{x})}$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}{1 + \frac{1}{x}}$

$= \frac{\lim_{x \to + \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}{\lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{1}{x})} = \frac{\sqrt{\lim_{x \to + \infty} 1 + \lim_{x \to + \infty} \frac{2}{x^{2}}}}{\lim_{x \to + \infty} 1 + \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x}}$ $= \frac{\sqrt{1}}{1} = 1$ .

Vận dụng trang 115 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác OAB với A = (a; 0) và B = (0; 1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.

a) Tính h theo a.

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

Lời giải:

a) Ta có: A = (a; 0) ⇒ OA = a; B = (0; 1) ⇒ OB = 1

Tam giác OAB vuông tại O có đường cao OH nên ta có

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}}$

Do đó, $\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{1^{2}}$ $\Rightarrow h =$ $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2} + 1}}$ .

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, ta có OA = a = 0, suy ra h = 0, do đó điểm H dịch chuyển về điểm O.

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, ta có OA = a ⟶ +∞.

Ta có: $\lim_{a \to + \infty} h = \lim_{a \to + \infty} \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2} + 1}}$ $= \lim_{a \to + \infty} \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2} (1 + \frac{1}{a^{2}})}}$ $= \lim_{a \to + \infty} \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{1}{a^{2}}}} = 1$ .

Do đó, điểm H dịch chuyển về điểm B.

3. Giới hạn vô cực của một hàm số tại một điểm

HĐ4 trang 115 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực

Xét hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ có đồ thị như Hình 5.6.

Cho $x_{n} = \frac{1}{n}$ , chứng tỏ rằng f(x_n) ⟶ +∞.

Lời giải:

Ta có: $x_{n} = \frac{1}{n}$ , do đó $f (x_{n}) = \frac{1}{x_{n}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{1}{n})}^{2}} = n^{2}$ .

Vì n ⟶ +∞ nên $x_{n} = \frac{1}{n} \to 0$ và f(x_n) ⟶ +∞.

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 111

Giải Toán 11 trang 113

Giải Toán 11 trang 114

Giải Toán 11 trang 115

Giải Toán 11 trang 116

Giải Toán 11 trang 118

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Mở đầu trang 111 Toán 11 Tập 1: Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức...

HĐ1 trang 111 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm. Cho hàm số $f (x) = \frac{4 - x^{2}}{x - 2}$ ...

Luyện tập 1 trang 113 Toán 11 Tập 1: Tính $\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$ ...

HĐ2 trang 113 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn một bên. Cho hàm số ...

Luyện tập 2 trang 113 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số

Tính $\lim_{x \to 0^{+}} f (x)$ , $\lim_{x \to 0^{-}} f (x)$ và $\lim_{x \to 0} f (x)$ ...

HĐ3 trang 114 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực. Cho hàm số $f (x) = 1 + \frac{2}{x - 1}$ có đồ thị như Hình 5.4...

Luyện tập 3 trang 115 Toán 11 Tập 1: Tính $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{x + 1}$ ...

Vận dụng trang 115 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác OAB với A = (a; 0) và B = (0; 1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h...

HĐ4 trang 115 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực. Xét hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ có đồ thị như Hình 5.6...

HĐ5 trang 116 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ . Với các dãy số (x_n) và (x'_n) cho bởi $x_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ , ${x^{'}}_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ , tính $\lim_{n \to + \infty} f (x_{n})$ và $\lim_{n \to + \infty} f ({x^{'}}_{n})$ ...

Luyện tập 4 trang 116 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau: a) ;...

Luyện tập 5 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x - 1}{x - 2}$ và $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 1}{x - 2}$ ...

Bài 5.7 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng...

Bài 5.8 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau: a) $\lim_{x \to 0} \frac{{(x + 2)}^{2} - 4}{x}$ ;...

Bài 5.9 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số (hàm Heaviside...

Bài 5.10 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn một bên: a) $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 2}{x - 1}$ ;...

Bài 5.11 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số . Tìm $\lim_{x \to 2^{+}} g (x)$ và $\lim_{x \to 2^{-}} g (x)$ ...

Bài 5.12 trang 118 Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau: a) $\lim_{x \to + \infty} \frac{1 - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ;...

Bài 5.13 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f (x) = \frac{2}{(x - 1) (x - 2)}$ . Tính $\lim_{x \to 2^{+}} f (x)$ và $\lim_{x \to 2^{-}} f (x)$ ...

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 5

Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

1 318 04/06/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: