Giải Toán 11 trang 118 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 11 trang 118 trong Bài 16: Giới hạn của hàm số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 118.

1 785 04/06/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 118

Luyện tập 5 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x - 1}{x - 2}$ và $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 1}{x - 2}$ .

Lời giải:

+) Ta có: $\lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) = 0$ , x – 2 > 0 với mọi x > 2 và

$\lim_{x \to 2^{+}} (2 x - 1) = 2.2 - 1 = 3 > 0$ .

Do đó, $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x - 1}{x - 2} = + \infty$ .

+) Ta có: $\lim_{x \to 2^{-}} (x - 2) = 0$ , x – 2 < 0 với mọi x < 2 và

$\lim_{x \to 2^{-}} (2 x - 1) = 2.2 - 1 = 3 > 0$ .

Do đó, $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 1}{x - 2} = - \infty$ .

Bài tập

Bài 5.7 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f(x) = g(x);

b) $\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} g (x)$ .

Lời giải:

+) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.

Ta có: $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} = x + 1$ , với mọi x ≠ 1.

Biểu thức g(x) = x + 1 có nghĩa với mọi x.

Do đó, điều kiện xác định của hai hàm số f(x) và g(x) khác nhau, vậy khẳng định a) là sai.

+) Ta có: $\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$ ;

$\lim_{x \to 1} g (x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$ .

Vậy $\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} g (x)$ nên khẳng định b) là đúng.

Bài 5.8 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 0} \frac{{(x + 2)}^{2} - 4}{x}$ ;

b) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 9} - 3}{x^{2}}$ .

Lời giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 0 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số đối với cả hai câu a và b.

a) Ta có:

Bài 5.8 trang 118 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Do đó $\lim_{x \to 0} \frac{{(x + 2)}^{2} - 4}{x}$ $= \lim_{x \to 0} (x + 4) = 0 + 4 = 4$ .

b) Ta có: $\frac{\sqrt{x^{2} + 9} - 3}{x^{2}} = \frac{{(\sqrt{x^{2} + 9})}^{2} - 3^{2}}{x^{2} (\sqrt{x^{2} + 9} + 3)}$ $= \frac{x^{2}}{x^{2} (\sqrt{x^{2} + 9} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9} + 3}$ .

Do đó $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 9} - 3}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9} + 3} = \frac{1}{6}$ .

Bài 5.9 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm t = 0).

Tính $\lim_{t \to 0^{+}} H (t)$ và $\lim_{t \to 0^{-}} H (t)$ .

Lời giải:

Với dãy số (t_n) bất kì sao cho t_n < 0 và t_n ⟶ 0, ta có H(t_n) = 0.

Do đó $\lim_{t \to 0^{-}} H (t)$ $= \lim_{n \to + \infty} H (t_{n}) = \lim_{n \to + \infty} 0 = 0$ .

Tương tự, với dãy số (t_n) bất kì sao cho t_n > 0 và t_n ⟶ 0, ta có H(t_n) = 1.

Do đó $\lim_{t \to 0^{+}} H (t)$ $= \lim_{n \to + \infty} H (t_{n}) = \lim_{n \to + \infty} 1 = 1$ .

Bài 5.10 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn một bên:

a) $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 2}{x - 1}$ ;

b) $\lim_{x \to 4^{-}} \frac{x^{2} - x + 1}{4 - x}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) = 0$ , x – 1 > 0 với mọi x > 1 và

$\lim_{x \to 1^{+}} (x - 2) = 1 - 2 = - 1 < 0$ .

Do đó, $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 2}{x - 1} = - \infty$ .

b) Ta có: $\lim_{x \to 4^{-}} (4 - x) = 0$ , 4 – x > 0 với mọi x < 4 và

$\lim_{x \to 4^{-}} (x^{2} - x + 1) = 4^{2} - 4 + 1 = 13 > 0$ .

Do đó, $\lim_{x \to 4^{-}} \frac{x^{2} - x + 1}{4 - x} = + \infty$ .

Bài 5.11 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số .

Tìm $\lim_{x \to 2^{+}} g (x)$ và $\lim_{x \to 2^{-}} g (x)$ .

Lời giải:

Ta có:

Bài 5.11 trang 118 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Do đó, $\lim_{x \to 2^{+}} g (x) = \lim_{x \to 2^{+}} (x - 3) = 2 - 3 = - 1$ ;

$\lim_{x \to 2^{-}} g (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (3 - x) = 3 - 2 = 1$ .

Bài 5.12 trang 118 Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to + \infty} \frac{1 - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ;

b) $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 2} - x)$ .

Lời giải:

a) $\lim_{x \to + \infty} \frac{1 - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{1 - 2 x}{\sqrt{x^{2} (1 + \frac{1}{x^{2}})}}$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{x (\frac{1}{x} - 2)}{x \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x} - 2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{- 2}{\sqrt{1}} = - 2$ .

b) Ta có: $\sqrt{x^{2} + x + 2} - x = \frac{{(\sqrt{x^{2} + x + 2})}^{2} - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x + 2} + x}$ $= \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + x + 2} + x}$

Do đó, $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 2} - x)$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + x + 2} + x}$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} (1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}})} + x}$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{x + 2}{x \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}} + x}$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{x (1 + \frac{2}{x})}{x (\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}} + 1)}$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}} + 1} = \frac{1}{2}$