Giải Toán 10 trang 77 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 77 Tập 1

Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, $\widehat{C}=120°$. Tính:

a) Độ dài cạnh AB;

b) Số đo các góc A, B;

c) Diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

 

a) Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC có:

AB² = BC² + CA² - 2.BC.CA.cos C

$\Rightarrow$ AB² = 12² + 15² - 2.12.15.cos 120^o

$\Rightarrow$ AB² = 549

$\Rightarrow$ AB = $3\sqrt{61}$ m.

b) Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:

$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{AC.\sin C}{AB}=\frac{15.\sin 120°}{3\sqrt{61}}\approx 0,554$

$\Rightarrow \widehat{B}$ ≈ 34^o.

Trong tam giác ABC có

$$\begin{gathered} \widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C} \\ =180°-34°-120° \\ =26° \end{gathered}$$.

c) Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$BC.AC.sin C = $\frac{1}{2}$.12.15.sin 120^o = $45\sqrt{3}$ (đvdt).

Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, $\widehat{A}=120°$. Tính độ dài cạnh AC.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:

$\frac{BC}{\sin \text{A}}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow \sin C=\frac{AB.\sin \text{A}}{BC}=\frac{5.\sin 120°}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$

$\Rightarrow \widehat{C}$ ≈ 38,2^o.

Trong tam giác ABC có

$$\begin{gathered} \widehat{B}=180°-\widehat{A}-\widehat{C} \\ =180°-120°-38,2° \\ =21,8° \end{gathered}$$.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:

$\frac{BC}{\sin \text{A}}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow AC=\frac{BC.\sin B}{\sin \text{A}}=\frac{7.\sin 21,2°}{\sin 120°}\approx 2,9$ m.

Vậy độ dài cạnh AC là 2,9m.

Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 100, $\widehat{B}=100°$, $\widehat{C}=45°$. Tính:

a) Độ dài các cạnh AC, BC;

b) Diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

a) Trong tam giác ABC có

$$\begin{gathered} \widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C} \\ =180°-100°-45° \\ =35° \end{gathered}$$.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:

$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin \text{A}}$

Do đó

$AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{100.\sin 100°}{\sin 45°}\approx 139,3$;

$BC=\frac{AB.\sin \text{A}}{\sin C}=\frac{100.\sin 35°}{\sin 45°}\approx 81,1$.

Vậy AC ≈ 139,3, BC ≈ 81,1.

b) Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$. AB.AC.sin A = $\frac{1}{2}$. 100 . 139,3 . sin 35^o ≈ 3995 (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 3995 (đvdt).

Bài 4 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:

a) Số đo các góc A, B, C;

b) Diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

cos A = $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{12}^2+{15}^2-{20}^2}{\mathrm{2.12.15}}=\frac{-31}{360}$

$\Rightarrow \widehat{A}$ ≈ 95^o.

cos B = $\frac{B{C}^2+B{A}^2-A{C}^2}{2.BC.CA}=\frac{{20}^2+{12}^2-{15}^2}{\mathrm{2.20.12}}=\frac{319}{480}$

$\Rightarrow \widehat{B}$ ≈ 48^o.

Trong tam giác ABC có:

$$\begin{gathered} \widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B} \\ =180°-95°-48°=37° \end{gathered}$$

b) Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$AB . AC . sin A = $\frac{1}{2}$. 12 . 15 . sin 95^o ≈ 90 (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 90 (đvdt). 

Bài 5 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:

Lời giải:

+) Xét Hình 29:

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin \text{A}}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{AC.\sin \text{A}}{BC}=\frac{5,2.\sin 40°}{3,6}\approx 0,93$

$\Rightarrow \widehat{B}\approx 68°$.

Trong tam giác ABC có $\widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}=180°-40°-68°=72°$.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin \text{A}}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow AB=\frac{BC.\sin C}{\sin \text{A}}=\frac{3,6.\sin 72°}{\sin 40°}\approx 5,3$ m.

Vậy AB ≈ 5,3 m.

+) Xét Hình 30:

Gọi H là chân đường cao kẻ từ C đến AB.

Tam giác ACH vuông tại H nên $\text{cos\hspace{0.17em}}\widehat{CAH}=\frac{AH}{AC}$.

Do đó AH = AC. cos $\widehat{CAH}$ = 5,2 . cos 40^o ≈ 4 m.

$\text{sin\hspace{0.17em}}\widehat{CAH}=\frac{CH}{AC}\Rightarrow$ CH = AC . sin $\widehat{CAH}$ = 5,2 . sin 40^o ≈ 3,3 m.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BCH vuông tại H:

BH² + CH² = BC² $\Rightarrow$ BH² = BC² - CH²

$\Rightarrow$ BH² = 3,6² - 3,3² $\Rightarrow$ BH² = 2,07

$\Rightarrow$ BH ≈ 1,44 m.

Khi đó AB ≈ 4 - 1,44 ≈ 2,56 m.

Vậy AB ≈ 2,56m.

Bài 6 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và $\widehat{ACB}=105°$ (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Lời giải:

Đổi 1 km = 1 000 m.

Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

AB² = AC² + BC² - 2.AC.BC.cos C

$\Rightarrow$ AB² = 1 000² + 800² - 2.1000.800.cos 105^o

$\Rightarrow$ AB² ≈ 2 054 110,5 m.

$\Rightarrow$ AB ≈ 1433,2 m.

Vậy AB ≈ 1433,2 m.

Bài 7 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 45° và 75°. Biết khoảng cách giữa hai bị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Gọi C là vị trí ngọn hải đăng, khi đó CH là khoảng cách giữa ngọn hải đăng và bờ.

Ta có $\widehat{CBH}$ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC nên $\widehat{CBH}=\widehat{BAC}+\widehat{BCA}$.

Do đó $\widehat{BCA}=\widehat{CBH}-\widehat{BAC}=75°-45°=30°$.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:

$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin \text{A}}$

$\Rightarrow BC=\frac{AB.\sin \text{A}}{\sin C}=\frac{30.\sin 45°}{\sin 30°}=30\sqrt{2}$ m.

Trong tam giác CBH vuông tại H:

$\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}$

$\Rightarrow$ CH = BC . sin $\widehat{CBH}$ 

= $30\sqrt{2}$ . sin 75^o = 15 + $15\sqrt{3}$ m ≈ 41 m.

Vậy khoảng cách từ ngọn hải đăng đến bờ khoảng 41 m.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 72 Tập 1

Giải Toán 10 trang 73 Tập 1

Giải Toán 10 trang 74 Tập 1

Giải Toán 10 trang 75 Tập 1

Giải Toán 10 trang 76 Tập 1

Giải Toán 10 trang 77 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 3: Khái niệm vectơ

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4