Giải Toán 10 trang 100 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 100 Tập 1

Bài 6 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí M, N ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí O bên ngoài ốc đảo sao cho: O không thuộc đường thẳng MN; các khoảng cách OM, ON và góc MON là đo được (Hình 73). Sau khi đo, ta có OM = 200 m, ON = 500 m, $\widehat{MON}=135°$.

Khoảng cách giữa hai vị trí M, N là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Ba vị trí O, M, N tạo thành ba đỉnh của tam giác OMN.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác OMN có:

MN² = OM² + ON² - 2.OM.ON.cos $\widehat{O}$

$\Rightarrow$ MN² = 200² + 500² - 2.200.500.cos 135^o

$\Rightarrow$ MN² ≈ 431 421 m

$\Rightarrow$ MN ≈ 657 m.

Vậy khoảng cách giữa hai điểm M và N khoảng 657 m.

Bài 7 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh:

a) Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}$ với E là điểm bất kì;

b) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{IN}=2\overrightarrow{MN}$ với M, N là hai điểm bất kì;

c) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-3\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{NG}$ với M, N là hai điểm bất kì.

Lời giải:

a)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}$.

b)

Do I là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.

Do đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{IN}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IN}=2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IN}\right)=2\overrightarrow{MN}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{IN}=2\overrightarrow{MN}$.

c)

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Do đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-3\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{MG}-3\overrightarrow{MN}=3\left(\overrightarrow{MG}-\overrightarrow{MN}\right)=3\overrightarrow{NG}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-3\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{NG}$.

Bài 8 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, $\widehat{BAD}=60°$ (Hình 74).

a) Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$.

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}$.

c) Tính độ dài các đường chéo BD, AC.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{B\text{D}}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

b) Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$

= 4 . 6 . cos $\widehat{BAD}$ = 24 . cos 60^o = 12.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$ = 4² + 12  = 28.

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right) \\ =\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AD}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} \end{gathered}$$ 

= 6² - 4² = 20.

c) Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABD có:

BD² = AB² + AD² - 2.AB.AD.cos $\widehat{BAD}$

$\Rightarrow$ BD² = 4² + 6² - 2.4.6.cos 60^o

$\Rightarrow$ BD² = 28

$\Rightarrow$ BD = $2\sqrt{7}$

Do ABCD là hình bình hành nên $\widehat{BA\text{D}}+\widehat{ADC}=180°$.

Do đó $\widehat{A\text{D}C}=180°-\widehat{BA\text{D}}=180°-60°=120°$.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ADC có:

CD² = AD² + DC² - 2.AD.DC.cos $\widehat{ADC}$

$\Rightarrow$ CD² = 6² + 4² - 2.6.4.cos 120^o

$\Rightarrow$ CD² = 76

$\Rightarrow$ CD = $2\sqrt{19}$

Vậy BD = $2\sqrt{7}$; CD = $2\sqrt{19}$.

Bài 9 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc $\left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}\right)=\alpha$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (Hình 75). Lập công thức tính cường độ của hợp lực $\overrightarrow{F}$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (giả sử chỉ có đúng hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ làm cho vật di chuyển).

Lời giải:

Do AOBC là hình bình hành nên $\widehat{AOB}+\widehat{OBC}=180°$.

Do đó $\widehat{OBC}=180°-\alpha$.

Ta có $\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_2}=\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}\right)=\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\cos \alpha$.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác OBC có:

OC² = OB² + BC² - 2.OB.OC.cos $\widehat{OBC}$

$\Rightarrow {\overrightarrow{F}}^2={\overrightarrow{F_2}}^2+{\overrightarrow{F_1}}^2-2.\overrightarrow{F_2}.\overrightarrow{F_1}.\cos \left(180°-\alpha \right)$

$\Rightarrow {\overrightarrow{F}}^2={\overrightarrow{F_2}}^2+{\overrightarrow{F_1}}^2-2.\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\cos \alpha .\cos \left(180°-\alpha \right)$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F}\right|=\sqrt{{\overrightarrow{F_2}}^2+{\overrightarrow{F_1}}^2-2.\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\cos \alpha .\cos \left(180°-\alpha \right)}$.

Vậy công thức tính cường độ của hợp lực $\overrightarrow{F}$ là $\Rightarrow \left|\overrightarrow{F}\right|=\sqrt{{\overrightarrow{F_2}}^2+{\overrightarrow{F_1}}^2-2.\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\cos \alpha .\cos \left(180°-\alpha \right)}$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 99 Tập 1

Giải Toán 10 trang 100 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Chủ đề 1: Đo góc

Bài 1: Mệnh đề toán học

Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn