Cho tam giác ABC vuông tại A có góc C = 30 độ. Đường trung trực của BC cắt AC tại M

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 64 trang 87 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{C}=30°$. Đường trung trực của BC cắt AC tại M. Chứng minh:

a) BM là tia phân giác của góc ABC;

b) MA < MC.

Lời giải

 

a) Vì $∆$ABC vuông tại A nên $\widehat{ABC}+\widehat{C}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90).

Suy ra $\widehat{ABC}=90°-\widehat{C}=90°-30°=60°$.

Vì điểm M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC.

Do đó tam giác MBC cân ở M.

Suy ra ${\widehat{B}}_1=\widehat{C}=30°$

Mặt khác ${\widehat{B}}_1+{\widehat{B}}_2=\widehat{ABC}=60°$ (hai góc kề nhau)

Nên ${\widehat{B}}_2=\widehat{ABC}-{\widehat{B}}_1=60°-30°=30°$

Suy ra ${\widehat{B}}_2={\widehat{B}}_1$

Do đó BM là tia phân giác của góc ABC.

Vậy BM là tia phân giác của góc ABC.

b) Trong tam giác vuông ABM có MA < MB (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Mà MB = MC (chứng minh câu a).

Suy ra MA < MC.

Vậy MA < MC.