Cho góc xOy khác góc bẹt. Oz là tia phân giác của góc đó, M là một điểm bất kì thuộc tia Oz

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 68 trang 88 SBT Toán 7 Tập 2: Cho góc xOy khác góc bẹt. Oz là tia phân giác của góc đó, M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C. Qua M vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh:

a) OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB;

b) Tam giác DMC là tam giác cân.

Lời giải

 

a) Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên $\widehat{xOz}=\widehat{zOy}$.

 Xét $∆$OAM và $∆$OBM có

$\widehat{OAM}=\widehat{OBM}\left(=90°\right)$,

OM là cạnh chung,

$\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$ (do $\widehat{xOz}=\widehat{zOy}$)

Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra OA = OB và MA = MB (các cặp cạnh tương ứng).

Nên O và M cùng nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy OM là đường trung trực của AB.

b) Xét $∆$ADM và $∆$BCM có

$\widehat{DAM}=\widehat{CBM}\left(=90°\right)$,

AM = BM (chứng minh câu a),

$\widehat{AMD}=\widehat{BMC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆ADM = ∆BCM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MD = MC (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác CDM cân tại M.

Vậy tam giác DMC cân tại M.