Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC; ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AC tại F

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 66 trang 88 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC; ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AC tại F. Chứng minh:

a) AM là trung trực của đoạn thẳng BC;

b) ME = MF và AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Lời giải

 

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên).

Suy ra A thuộc đường trung trực của BC.

Lại có M là trung điểm của BC.

Nên AM là đường trung trực của BC.

Vậy AM là trung trực của đoạn thẳng BC.

b) Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}$ (hai góc ở đáy).

Xét $∆$EBM và $∆$FCM có:

$\widehat{BEM}=\widehat{CFM}\left(=90°\right)$,

BM = CM (do M là trung điểm của BC),

$\widehat{B}=\widehat{C}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆EBM = ∆FCM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra ME = MF, BE = CF (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó M thuộc đường trung trực của EF (1)

Ta có AB = AE + EB, AC = AF + FC.

Mà AB = AC, BE = CF nên AE = AF.

Suy ra A thuộc đường trung trực của EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF.

Vậy ME = MF và AM là đường trung trực của EF.